Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Structured version   Unicode version

Theorem frrlem5c 25580
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of  B is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1  |-  R  Fr  A
frrlem5.2  |-  R Se  A
frrlem5.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frrlem5c  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, G, x, y    R, f, x, y   
x, B
Allowed substitution hints:    B( y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables  g  h  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4028 . 2  |-  ( C 
C_  B  ->  U. C  C_ 
U. B )
2 ssid 3359 . . . 4  |-  B  C_  B
3 frrlem5.1 . . . . 5  |-  R  Fr  A
4 frrlem5.2 . . . . 5  |-  R Se  A
5 frrlem5.3 . . . . 5  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 4, 5frrlem5b 25579 . . . 4  |-  ( B 
C_  B  ->  Rel  U. B )
72, 6ax-mp 8 . . 3  |-  Rel  U. B
8 eluni 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  u >.  e. 
U. B  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
9 df-br 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B u  <->  <. x ,  u >.  e.  U. B
)
10 df-br 4205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x g u  <->  <. x ,  u >.  e.  g
)
1110anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  (
<. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
1211exbii 1592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
138, 9, 123bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B u  <->  E. g
( x g u  /\  g  e.  B
) )
14 eluni 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  v >.  e.  U. B  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
15 df-br 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B v  <->  <. x ,  v >.  e.  U. B
)
16 df-br 4205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x h v  <->  <. x ,  v >.  e.  h
)
1716anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  (
<. x ,  v >.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1817exbii 1592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1914, 15, 183bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B v  <->  E. h
( x h v  /\  h  e.  B
) )
2013, 19anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
21 eeanv 1937 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
2220, 21bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  (
x h v  /\  h  e.  B )
) )
233, 4, 5frrlem5 25578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  B  /\  h  e.  B )  ->  ( ( x g u  /\  x h v )  ->  u  =  v ) )
2423impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x g u  /\  x h v )  /\  ( g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2524an4s 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2625exlimivv 1645 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2722, 26sylbi 188 . . . . 5  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
2827ax-gen 1555 . . . 4  |-  A. v
( ( x U. B u  /\  x U. B v )  ->  u  =  v )
2928gen2 1556 . . 3  |-  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
30 dffun2 5456 . . 3  |-  ( Fun  U. B  <->  ( Rel  U. B  /\  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v ) ) )
317, 29, 30mpbir2an 887 . 2  |-  Fun  U. B
32 funss 5464 . 2  |-  ( U. C  C_  U. B  -> 
( Fun  U. B  ->  Fun  U. C ) )
331, 31, 32ee10 1385 1  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697    C_ wss 3312   <.cop 3809   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    Fr wfr 4530   Se wse 4531    |` cres 4872   Rel wrel 4875   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Predcpred 25430
This theorem is referenced by:  frrlem10  25585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-pred 25431  df-trpred 25488
  Copyright terms: Public domain W3C validator