Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Unicode version

Theorem frrlem5c 24358
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of  B is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1  |-  R  Fr  A
frrlem5.2  |-  R Se  A
frrlem5.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frrlem5c  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, G, x, y    R, f, x, y   
x, B
Allowed substitution hints:    B( y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables  g  h  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3864 . 2  |-  ( C 
C_  B  ->  U. C  C_ 
U. B )
2 ssid 3210 . . . 4  |-  B  C_  B
3 frrlem5.1 . . . . 5  |-  R  Fr  A
4 frrlem5.2 . . . . 5  |-  R Se  A
5 frrlem5.3 . . . . 5  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 4, 5frrlem5b 24357 . . . 4  |-  ( B 
C_  B  ->  Rel  U. B )
72, 6ax-mp 8 . . 3  |-  Rel  U. B
8 eluni 3846 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  u >.  e. 
U. B  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
9 df-br 4040 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B u  <->  <. x ,  u >.  e.  U. B
)
10 df-br 4040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x g u  <->  <. x ,  u >.  e.  g
)
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  (
<. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
1211exbii 1572 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
138, 9, 123bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B u  <->  E. g
( x g u  /\  g  e.  B
) )
14 eluni 3846 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  v >.  e.  U. B  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
15 df-br 4040 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B v  <->  <. x ,  v >.  e.  U. B
)
16 df-br 4040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x h v  <->  <. x ,  v >.  e.  h
)
1716anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  (
<. x ,  v >.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1817exbii 1572 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1914, 15, 183bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B v  <->  E. h
( x h v  /\  h  e.  B
) )
2013, 19anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
21 eeanv 1866 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
2220, 21bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  (
x h v  /\  h  e.  B )
) )
233, 4, 5frrlem5 24356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  B  /\  h  e.  B )  ->  ( ( x g u  /\  x h v )  ->  u  =  v ) )
2423impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x g u  /\  x h v )  /\  ( g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2524an4s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2625exlimivv 1625 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2722, 26sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
2827ax-gen 1536 . . . 4  |-  A. v
( ( x U. B u  /\  x U. B v )  ->  u  =  v )
2928gen2 1537 . . 3  |-  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
30 dffun2 5281 . . 3  |-  ( Fun  U. B  <->  ( Rel  U. B  /\  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v ) ) )
317, 29, 30mpbir2an 886 . 2  |-  Fun  U. B
32 funss 5289 . 2  |-  ( U. C  C_  U. B  -> 
( Fun  U. B  ->  Fun  U. C ) )
331, 31, 32ee10 1366 1  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556    C_ wss 3165   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    Fr wfr 4365   Se wse 4366    |` cres 4707   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Predcpred 24238
This theorem is referenced by:  frrlem10  24363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-pred 24239  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator