Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Unicode version

Theorem frrlem5c 24287
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of  B is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1  |-  R  Fr  A
frrlem5.2  |-  R Se  A
frrlem5.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frrlem5c  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, G, x, y    R, f, x, y   
x, B
Allowed substitution hints:    B( y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables  g  h  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3848 . 2  |-  ( C 
C_  B  ->  U. C  C_ 
U. B )
2 ssid 3197 . . . 4  |-  B  C_  B
3 frrlem5.1 . . . . 5  |-  R  Fr  A
4 frrlem5.2 . . . . 5  |-  R Se  A
5 frrlem5.3 . . . . 5  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 4, 5frrlem5b 24286 . . . 4  |-  ( B 
C_  B  ->  Rel  U. B )
72, 6ax-mp 8 . . 3  |-  Rel  U. B
8 eluni 3830 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  u >.  e. 
U. B  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
9 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B u  <->  <. x ,  u >.  e.  U. B
)
10 df-br 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x g u  <->  <. x ,  u >.  e.  g
)
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  (
<. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
1211exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
138, 9, 123bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B u  <->  E. g
( x g u  /\  g  e.  B
) )
14 eluni 3830 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  v >.  e.  U. B  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
15 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B v  <->  <. x ,  v >.  e.  U. B
)
16 df-br 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x h v  <->  <. x ,  v >.  e.  h
)
1716anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  (
<. x ,  v >.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1817exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1914, 15, 183bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B v  <->  E. h
( x h v  /\  h  e.  B
) )
2013, 19anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
21 eeanv 1854 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
2220, 21bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  (
x h v  /\  h  e.  B )
) )
233, 4, 5frrlem5 24285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  B  /\  h  e.  B )  ->  ( ( x g u  /\  x h v )  ->  u  =  v ) )
2423impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x g u  /\  x h v )  /\  ( g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2524an4s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2625exlimivv 1667 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2722, 26sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
2827ax-gen 1533 . . . 4  |-  A. v
( ( x U. B u  /\  x U. B v )  ->  u  =  v )
2928gen2 1534 . . 3  |-  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
30 dffun2 5265 . . 3  |-  ( Fun  U. B  <->  ( Rel  U. B  /\  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v ) ) )
317, 29, 30mpbir2an 886 . 2  |-  Fun  U. B
32 funss 5273 . 2  |-  ( U. C  C_  U. B  -> 
( Fun  U. B  ->  Fun  U. C ) )
331, 31, 32ee10 1366 1  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    Fr wfr 4349   Se wse 4350    |` cres 4691   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Predcpred 24167
This theorem is referenced by:  frrlem10  24292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator