Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5e Structured version   Unicode version

Theorem frrlem5e 25591
 Description: Lemma for founded recursion. The domain of the union of a subset of is closed under predecessors. (Contributed by Paul Chapman, 1-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1
frrlem5.2 Se
frrlem5.3
Assertion
Ref Expression
frrlem5e
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem frrlem5e
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmuni 5080 . . . 4
21eleq2i 2501 . . 3
3 eliun 4098 . . 3
42, 3bitri 242 . 2
5 ssel2 3344 . . . . 5
6 frrlem5.3 . . . . . . . 8
76frrlem1 25583 . . . . . . 7
87abeq2i 2544 . . . . . 6
9 fndm 5545 . . . . . . . . 9
10 predeq3 25444 . . . . . . . . . . . . 13
1110sseq1d 3376 . . . . . . . . . . . 12
1211rspccv 3050 . . . . . . . . . . 11
13123ad2ant2 980 . . . . . . . . . 10
14 eleq2 2498 . . . . . . . . . . 11
15 sseq2 3371 . . . . . . . . . . 11
1614, 15imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
1713, 16syl5ibr 214 . . . . . . . . 9
189, 17syl 16 . . . . . . . 8
1918imp 420 . . . . . . 7
2019exlimiv 1645 . . . . . 6
218, 20sylbi 189 . . . . 5
225, 21syl 16 . . . 4
23 dmeq 5071 . . . . . . . . . 10
2423sseq2d 3377 . . . . . . . . 9
2524rspcev 3053 . . . . . . . 8
26 ssiun 4134 . . . . . . . 8
2725, 26syl 16 . . . . . . 7
28 dmuni 5080 . . . . . . 7
2927, 28syl6sseqr 3396 . . . . . 6
3029ex 425 . . . . 5
3130adantl 454 . . . 4
3222, 31syld 43 . . 3
3332rexlimdva 2831 . 2
344, 33syl5bi 210 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cab 2423  wral 2706  wrex 2707   wss 3321  cuni 4016  ciun 4094   wfr 4539   Se wse 4540   cdm 4879   cres 4881   wfn 5450  cfv 5455  (class class class)co 6082  cpred 25439 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-fv 5463  df-ov 6085  df-pred 25440
 Copyright terms: Public domain W3C validator