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Theorem frxp 6419
Description: A lexicographical ordering of two well-founded classes. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 4-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
frxp.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frxp  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)

Proof of Theorem frxp
Dummy variables  a 
b  c  s  v  w  z  d  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssn0 3624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
2 xpnz 5255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
32biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
43simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  B  =/=  (/) )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  B  =/=  (/) )
6 dmxp 5051 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  ->  dom  ( A  X.  B )  =  A )
7 dmss 5032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  dom  ( A  X.  B ) )
8 sseq2 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( dom  s  C_  dom  ( A  X.  B
)  <->  dom  s  C_  A
) )
97, 8syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  A ) )
106, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  dom  s  C_  A ) )
1110impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  B  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
125, 11syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
13 relxp 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( A  X.  B )
14 relss 4926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  Rel  s ) )
1513, 14mpi 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  s )
16 reldm0 5050 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  s  ->  ( s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1817necon3bid 2606 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
1918biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  =/=  (/) )
2012, 19jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) )
21 df-fr 4505 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. v
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a ) )
22 vex 2923 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
2322dmex 5095 . . . . . . . 8  |-  dom  s  e.  _V
24 sseq1 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  C_  A  <->  dom  s  C_  A )
)
25 neeq1 2579 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
2624, 25anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) ) )
27 raleq 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( A. c  e.  v  -.  c R a  <->  A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2827rexeqbi1dv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a  <->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2926, 28imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  <->  ( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) ) )
3023, 29spcv 3006 . . . . . . 7  |-  ( A. v ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  -> 
( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3121, 30sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3220, 31syl5 30 . . . . 5  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3332adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
34 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s
" { a } )  C_  ran  s
35 xpeq0 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
3635biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
3736orcs 384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
38 sseq2 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  <->  s  C_  (/) ) )
39 ss0 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  (/)  ->  s  =  (/) )
4038, 39syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
42 rneq 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  =  ran  (/) )
43 rn0 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (/)  =  (/)
44 0ss 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  C_  B
4543, 44eqsstri 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (/)  C_  B
4642, 45syl6eqss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  C_  B )
4741, 46syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
48 rnxp 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ran  ( A  X.  B )  =  B )
49 rnss 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  ran  ( A  X.  B ) )
50 sseq2 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( ran  s  C_  ran  ( A  X.  B
)  <->  ran  s  C_  B
) )
5149, 50syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
5248, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  ran  s  C_  B ) )
5347, 52pm2.61ine 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B )
5434, 53syl5ss 3323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s " { a } )  C_  B
)
55 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5655eldm 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  dom  s  <->  E. b 
a s b )
57 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  b  e. 
_V
5855, 57elimasn 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  b >.  e.  s )
59 df-br 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a s b  <->  <. a ,  b >.  e.  s
)
6058, 59bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <-> 
a s b )
61 ne0i 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6260, 61sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a s b  ->  (
s " { a } )  =/=  (/) )
6362exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  a s b  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6456, 63sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  dom  s  -> 
( s " {
a } )  =/=  (/) )
65 df-fr 4505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  Fr  B  <->  A. v
( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b ) )
66 imaexg 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s " { a } )  e.  _V )
6722, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s
" { a } )  e.  _V
68 sseq1 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  C_  B 
<->  ( s " {
a } )  C_  B ) )
69 neeq1 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  =/=  (/) 
<->  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) )
7068, 69anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( (
s " { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) ) )
71 raleq 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( A. d  e.  v  -.  d S b  <->  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7271rexeqbi1dv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b  <->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7370, 72imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  <->  ( (
( s " {
a } )  C_  B  /\  ( s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) ) )
7467, 73spcv 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  -> 
( ( ( s
" { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7565, 74sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( ( s " { a } ) 
C_  B  /\  (
s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7654, 64, 75syl2ani 638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
77 1stdm 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  ( 1st `  w )  e. 
dom  s )
78 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( c R a  <->  ( 1st `  w ) R a ) )
7978notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( -.  c R a  <->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8079rspccv 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( 1st `  w
)  e.  dom  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) )
8177, 80syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( Rel  s  /\  w  e.  s
)  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8281exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) ) )
8382impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
85 elrel 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. )
8685ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
88 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  u  e. 
_V
8955, 88elimasn 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( u  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  u >.  e.  s )
90 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( d  =  u  ->  (
d S b  <->  u S
b ) )
9190notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( d  =  u  ->  ( -.  d S b  <->  -.  u S b ) )
9291rspccv 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( u  e.  ( s " {
a } )  ->  -.  u S b ) )
9389, 92syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) )
95 opeq1 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  =  a  ->  <. t ,  u >.  =  <. a ,  u >. )
9695eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  =  a  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  <->  <. a ,  u >.  e.  s ) )
9796imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  =  a  ->  (
( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b )  <->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) ) )
9894, 97syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( t  =  a  ->  (
( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s
" { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) ) )
9998com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
100 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( w  e.  s  <->  <. t ,  u >.  e.  s ) )
101 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  t  e. 
_V
102101, 88op1std 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 1st `  w
)  =  t )
103102eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  <-> 
t  =  a ) )
104101, 88op2ndd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  u )
105104breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 2nd `  w ) S b  <-> 
u S b ) )
106105notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( -.  ( 2nd `  w ) S b  <->  -.  u S
b ) )
107103, 106imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
108100, 107imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( w  e.  s  ->  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  <->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S
b ) ) ) )
10999, 108syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
110109exlimivv 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
111110com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11287, 111mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
11484, 113jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
115114ralrimiv 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
116115ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11715, 116sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
118 olc 374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
119118ralimi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
120117, 119syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
121 ianor 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
122 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
123 opex 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
124 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( A  X.  B )  <->  w  e.  ( A  X.  B
) ) )
125124anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) ) ) )
126 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  w
) )
127126breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w ) R ( 1st `  y ) ) )
128126eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y ) ) )
129 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  w  ->  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  w
) )
130129breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 2nd `  x
) S ( 2nd `  y )  <->  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )
131128, 130anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) )
132127, 131orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) ) )
133125, 132anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( x  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) ) )
134 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  ( A  X.  B
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( A  X.  B ) ) )
135134anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) ) ) )
13655, 57op1std 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  a )
137136breq2d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
) R a ) )
138136eqeq2d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
)  =  a ) )
13955, 57op2ndd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  b )
140139breq2d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y )  <-> 
( 2nd `  w
) S b ) )
141138, 140anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )
142137, 141orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
143135, 142anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
144 frxp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
145122, 123, 133, 143, 144brab 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w T <. a ,  b
>. 
<->  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
146121, 145xchnxbir 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
147 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
148 ianor 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
149 pm4.62 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b )  <-> 
( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
150148, 149bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
151150anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
152147, 151bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
153152orbi2i 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  -.  ( ( 1st `  w ) R a  \/  (
( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )  <->  ( -.  (
w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
154146, 153bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
155154ralbii 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. 
<-> 
A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
156120, 155syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
157156reximdv 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
158157ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
159158com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  -> 
( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
160159adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  -> 
( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
16176, 160sylcom 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
162161impl 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
163162expimpd 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  -> 
( ( a  e. 
dom  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
1641633adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
165 resss 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  |`  { a } ) 
C_  s
166 df-rex 2676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  <->  E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
167 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.
168 eqeq1 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. a ,  b
>. ) )
169 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( w T z  <->  w T <. a ,  b >. )
)
170169notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  w T z  <->  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
171170ralbidv 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( A. w  e.  s  -.  w T z  <->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
172171anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) ) )
173168, 172anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) ) )
174123, 173spcev 3007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
175167, 174mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
17658, 175sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( s
" { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
177176eximi 1582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
178166, 177sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
179 excom 1752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b E. z ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
180178, 179sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
181 df-rex 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
18255elsnres 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( s  |`  { a } )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s ) )
183182anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
184 19.41v 1920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <-> 
( E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
185 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
186185exbii 1589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
187183, 184, 1863bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
188187exbii 1589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. z E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
189181, 188bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
190180, 189sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z )
191 ssrexv 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  |`  { a } )  C_  s  ->  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
192165, 190, 191mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z )
193164, 192syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
194193exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
a  e.  dom  s  ->  ( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
195194rexlimdv 2793 . . . . . 6  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) )
1961953expib 1156 . . . . 5  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
197196adantl 453 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
19833, 197mpdd 38 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
199198alrimiv 1638 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  A. s ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
200 df-fr 4505 . 2  |-  ( T  Fr  ( A  X.  B )  <->  A. s
( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
201199, 200sylibr 204 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    C_ wss 3284   (/)c0 3592   {csn 3778   <.cop 3781   class class class wbr 4176   {copab 4229    Fr wfr 4502    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ran crn 4842    |` cres 4843   "cima 4844   Rel wrel 4846   ` cfv 5417   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311
This theorem is referenced by:  wexp  6423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-fr 4505  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-1st 6312  df-2nd 6313
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