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Theorem frxp 6225
Description: A lexicographical ordering of two well founded classes. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 4-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
frxp.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frxp  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)

Proof of Theorem frxp
Dummy variables  a 
b  c  s  v  w  z  d  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssn0 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
2 xpnz 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
32biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
43simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  B  =/=  (/) )
51, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  B  =/=  (/) )
6 dmxp 4897 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  ->  dom  ( A  X.  B )  =  A )
7 dmss 4878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  dom  ( A  X.  B ) )
8 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( dom  s  C_  dom  ( A  X.  B
)  <->  dom  s  C_  A
) )
97, 8syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  A ) )
106, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  dom  s  C_  A ) )
1110impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  B  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
125, 11syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
13 relxp 4794 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( A  X.  B )
14 relss 4775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  Rel  s ) )
1513, 14mpi 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  s )
16 reldm0 4896 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  s  ->  ( s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1817necon3bid 2481 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
1918biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  =/=  (/) )
2012, 19jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) )
21 df-fr 4352 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. v
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a ) )
22 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
2322dmex 4941 . . . . . . . 8  |-  dom  s  e.  _V
24 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  C_  A  <->  dom  s  C_  A )
)
25 neeq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
2624, 25anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) ) )
27 raleq 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( A. c  e.  v  -.  c R a  <->  A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2827rexeqbi1dv 2745 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a  <->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2926, 28imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  <->  ( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) ) )
3023, 29spcv 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. v ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  -> 
( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3121, 30sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3220, 31syl5 28 . . . . 5  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3332adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
34 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s
" { a } )  C_  ran  s
35 xpeq0 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
3635biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
3736orcs 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
38 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  <->  s  C_  (/) ) )
39 ss0 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  (/)  ->  s  =  (/) )
4038, 39syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
4137, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
42 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  =  ran  (/) )
43 rn0 4936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  (/)  =  (/)
44 0ss 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  C_  B
4543, 44eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (/)  C_  B
4645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  (/)  C_  B
)
4742, 46eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  C_  B )
4841, 47syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
49 rnxp 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ran  ( A  X.  B )  =  B )
50 rnss 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  ran  ( A  X.  B ) )
51 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( ran  s  C_  ran  ( A  X.  B
)  <->  ran  s  C_  B
) )
5250, 51syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
5349, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  ran  s  C_  B ) )
5448, 53pm2.61ine 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B )
5534, 54syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s " { a } )  C_  B
)
56 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5756eldm 4876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  dom  s  <->  E. b 
a s b )
58 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  b  e. 
_V
5956, 58elimasn 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  b >.  e.  s )
60 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a s b  <->  <. a ,  b >.  e.  s
)
6159, 60bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <-> 
a s b )
62 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6361, 62sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a s b  ->  (
s " { a } )  =/=  (/) )
6463exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  a s b  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6557, 64sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  dom  s  -> 
( s " {
a } )  =/=  (/) )
66 df-fr 4352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  Fr  B  <->  A. v
( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b ) )
67 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s " { a } )  e.  _V )
6822, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s
" { a } )  e.  _V
69 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  C_  B 
<->  ( s " {
a } )  C_  B ) )
70 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  =/=  (/) 
<->  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) )
7169, 70anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( (
s " { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) ) )
72 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( A. d  e.  v  -.  d S b  <->  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7372rexeqbi1dv 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b  <->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7471, 73imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  <->  ( (
( s " {
a } )  C_  B  /\  ( s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) ) )
7568, 74spcv 2874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  -> 
( ( ( s
" { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7666, 75sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( ( s " { a } ) 
C_  B  /\  (
s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7755, 65, 76syl2ani 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
78 1stdm 6167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  ( 1st `  w )  e. 
dom  s )
79 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( c R a  <->  ( 1st `  w ) R a ) )
8079notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( -.  c R a  <->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8180rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( 1st `  w
)  e.  dom  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) )
8278, 81syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( Rel  s  /\  w  e.  s
)  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8382exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) ) )
8483impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
86 elrel 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. )
8786ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
89 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  u  e. 
_V
9056, 89elimasn 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( u  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  u >.  e.  s )
91 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( d  =  u  ->  (
d S b  <->  u S
b ) )
9291notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( d  =  u  ->  ( -.  d S b  <->  -.  u S b ) )
9392rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( u  e.  ( s " {
a } )  ->  -.  u S b ) )
9490, 93syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) )
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) )
96 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  =  a  ->  <. t ,  u >.  =  <. a ,  u >. )
9796eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  =  a  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  <->  <. a ,  u >.  e.  s ) )
9897imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  =  a  ->  (
( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b )  <->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) ) )
9995, 98syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( t  =  a  ->  (
( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s
" { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) ) )
10099com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
101 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( w  e.  s  <->  <. t ,  u >.  e.  s ) )
102 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  t  e. 
_V
103102, 89op1std 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 1st `  w
)  =  t )
104103eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  <-> 
t  =  a ) )
105102, 89op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  u )
106105breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 2nd `  w ) S b  <-> 
u S b ) )
107106notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( -.  ( 2nd `  w ) S b  <->  -.  u S
b ) )
108104, 107imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
109101, 108imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( w  e.  s  ->  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  <->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S
b ) ) ) )
110100, 109syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
111110exlimivv 1667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
112111com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11388, 112mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
114113adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
11585, 114jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
116115ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
117116ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11815, 117sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
119 olc 373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
120119ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
121118, 120syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
122 ianor 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
123 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
124 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
125 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( A  X.  B )  <->  w  e.  ( A  X.  B
) ) )
126125anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) ) ) )
127 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  w
) )
128127breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w ) R ( 1st `  y ) ) )
129127eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y ) ) )
130 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  w  ->  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  w
) )
131130breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 2nd `  x
) S ( 2nd `  y )  <->  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )
132129, 131anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) )
133128, 132orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) ) )
134126, 133anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( x  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) ) )
135 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  ( A  X.  B
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( A  X.  B ) ) )
136135anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) ) ) )
13756, 58op1std 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  a )
138137breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
) R a ) )
139137eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
)  =  a ) )
14056, 58op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  b )
141140breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y )  <-> 
( 2nd `  w
) S b ) )
142139, 141anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )
143138, 142orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
144136, 143anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
145 frxp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
146123, 124, 134, 144, 145brab 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w T <. a ,  b
>. 
<->  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
147122, 146xchnxbir 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
148 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
149 ianor 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
150 pm4.62 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b )  <-> 
( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
151149, 150bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
152151anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
153148, 152bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
154153orbi2i 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  -.  ( ( 1st `  w ) R a  \/  (
( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )  <->  ( -.  (
w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
155147, 154bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
156155ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. 
<-> 
A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
157121, 156syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
158157reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
159158ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
160159com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  -> 
( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  -> 
( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
16277, 161sylcom 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
163162impl 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
164163expimpd 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  -> 
( ( a  e. 
dom  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
1651643adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
166 resss 4979 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  |`  { a } ) 
C_  s
167 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  <->  E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
168 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.
169 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. a ,  b
>. ) )
170 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( w T z  <->  w T <. a ,  b >. )
)
171170notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  w T z  <->  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
172171ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( A. w  e.  s  -.  w T z  <->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
173172anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) ) )
174169, 173anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) ) )
175124, 174spcev 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
176168, 175mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
17759, 176sylanb 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( s
" { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
178177eximi 1563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
179167, 178sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
180 excom 1786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b E. z ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
181179, 180sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
182 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
18356elsnres 4991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( s  |`  { a } )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s ) )
184183anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
185 19.41v 1842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <-> 
( E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
186 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
187186exbii 1569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
188184, 185, 1873bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
189188exbii 1569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. z E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
190182, 189bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
191181, 190sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z )
192 ssrexv 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  |`  { a } )  C_  s  ->  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
193166, 191, 192mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z )
194165, 193syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
195194exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
a  e.  dom  s  ->  ( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
196195rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) )
1971963expib 1154 . . . . 5  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
198197adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
19933, 198mpdd 36 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
200199alrimiv 1617 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  A. s ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
201 df-fr 4352 . 2  |-  ( T  Fr  ( A  X.  B )  <->  A. s
( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
202200, 201sylibr 203 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076    Fr wfr 4349    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Rel wrel 4694   ` cfv 5255   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121
This theorem is referenced by:  wexp  6229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-fr 4352  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123
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