MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frxp Structured version   Unicode version

Theorem frxp 6459
Description: A lexicographical ordering of two well-founded classes. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 4-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
frxp.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frxp  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)

Proof of Theorem frxp
Dummy variables  a 
b  c  s  v  w  z  d  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssn0 3662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
2 xpnz 5295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
32biimpri 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
43simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  B  =/=  (/) )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  B  =/=  (/) )
6 dmxp 5091 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  ->  dom  ( A  X.  B )  =  A )
7 dmss 5072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  dom  ( A  X.  B ) )
8 sseq2 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( dom  s  C_  dom  ( A  X.  B
)  <->  dom  s  C_  A
) )
97, 8syl5ib 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( A  X.  B
)  =  A  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  dom  s  C_  A ) )
106, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  dom  s  C_  A ) )
1110impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  B  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
125, 11syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  C_  A )
13 relxp 4986 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( A  X.  B )
14 relss 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  Rel  s ) )
1513, 14mpi 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  s )
16 reldm0 5090 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  s  ->  ( s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =  (/)  <->  dom  s  =  (/) ) )
1817necon3bid 2638 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
1918biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  dom  s  =/=  (/) )
2012, 19jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) )
21 df-fr 4544 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. v
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a ) )
22 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
2322dmex 5135 . . . . . . . 8  |-  dom  s  e.  _V
24 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  C_  A  <->  dom  s  C_  A )
)
25 neeq1 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( v  =/=  (/)  <->  dom  s  =/=  (/) ) )
2624, 25anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( v  C_  A  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) ) ) )
27 raleq 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( A. c  e.  v  -.  c R a  <->  A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2827rexeqbi1dv 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a  <->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
2926, 28imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  dom  s  -> 
( ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  <->  ( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) ) )
3023, 29spcv 3044 . . . . . . 7  |-  ( A. v ( ( v 
C_  A  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  v  A. c  e.  v  -.  c R a )  -> 
( ( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3121, 30sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( dom  s  C_  A  /\  dom  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3220, 31syl5 31 . . . . 5  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
3332adantr 453 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a ) )
34 imassrn 5219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s
" { a } )  C_  ran  s
35 xpeq0 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
3635biimpri 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
3736orcs 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
38 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  <->  s  C_  (/) ) )
39 ss0 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  (/)  ->  s  =  (/) )
4038, 39syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  s  =  (/) ) )
42 rneq 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  =  ran  (/) )
43 rn0 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (/)  =  (/)
44 0ss 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  C_  B
4543, 44eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (/)  C_  B
4642, 45syl6eqss 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  (/)  ->  ran  s  C_  B )
4741, 46syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  (/)  ->  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
48 rnxp 5302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ran  ( A  X.  B )  =  B )
49 rnss 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  ran  ( A  X.  B ) )
50 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( ran  s  C_  ran  ( A  X.  B
)  <->  ran  s  C_  B
) )
5149, 50syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( A  X.  B
)  =  B  -> 
( s  C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B ) )
5248, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( s  C_  ( A  X.  B
)  ->  ran  s  C_  B ) )
5347, 52pm2.61ine 2682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  s  C_  B )
5434, 53syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
s " { a } )  C_  B
)
55 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5655eldm 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  dom  s  <->  E. b 
a s b )
57 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  b  e. 
_V
5855, 57elimasn 5232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  b >.  e.  s )
59 df-br 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a s b  <->  <. a ,  b >.  e.  s
)
6058, 59bitr4i 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  <-> 
a s b )
61 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( s " { a } )  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6260, 61sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a s b  ->  (
s " { a } )  =/=  (/) )
6362exlimiv 1645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  a s b  ->  ( s " { a } )  =/=  (/) )
6456, 63sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  dom  s  -> 
( s " {
a } )  =/=  (/) )
65 df-fr 4544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  Fr  B  <->  A. v
( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b ) )
66 imaexg 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s " { a } )  e.  _V )
6722, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s
" { a } )  e.  _V
68 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  C_  B 
<->  ( s " {
a } )  C_  B ) )
69 neeq1 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( v  =/=  (/) 
<->  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) )
7068, 69anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  <->  ( (
s " { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) ) ) )
71 raleq 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( A. d  e.  v  -.  d S b  <->  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7271rexeqbi1dv 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b  <->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7370, 72imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( s " { a } )  ->  ( ( ( v  C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  <->  ( (
( s " {
a } )  C_  B  /\  ( s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) ) )
7467, 73spcv 3044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v ( ( v 
C_  B  /\  v  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  v  A. d  e.  v  -.  d S b )  -> 
( ( ( s
" { a } )  C_  B  /\  ( s " {
a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b ) )
7565, 74sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( ( s " { a } ) 
C_  B  /\  (
s " { a } )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
7654, 64, 75syl2ani 639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b ) )
77 1stdm 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  ( 1st `  w )  e. 
dom  s )
78 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( c R a  <->  ( 1st `  w ) R a ) )
7978notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  =  ( 1st `  w
)  ->  ( -.  c R a  <->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8079rspccv 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( 1st `  w
)  e.  dom  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) )
8177, 80syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( ( Rel  s  /\  w  e.  s
)  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8281exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  -> 
( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w
) R a ) ) )
8382impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
8483adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  -.  ( 1st `  w ) R a ) )
85 elrel 4981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Rel  s  /\  w  e.  s )  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. )
8685ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Rel  s  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  E. t E. u  w  =  <. t ,  u >. ) )
88 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  u  e. 
_V
8955, 88elimasn 5232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( u  e.  ( s " { a } )  <->  <. a ,  u >.  e.  s )
90 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( d  =  u  ->  (
d S b  <->  u S
b ) )
9190notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( d  =  u  ->  ( -.  d S b  <->  -.  u S b ) )
9291rspccv 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( u  e.  ( s " {
a } )  ->  -.  u S b ) )
9389, 92syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) )
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) )
95 opeq1 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  =  a  ->  <. t ,  u >.  =  <. a ,  u >. )
9695eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  =  a  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  <->  <. a ,  u >.  e.  s ) )
9796imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  =  a  ->  (
( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b )  <->  ( <. a ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S
b ) ) )
9894, 97syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( t  =  a  ->  (
( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s
" { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  -.  u S b ) ) )
9998com3l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
100 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( w  e.  s  <->  <. t ,  u >.  e.  s ) )
101 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  t  e. 
_V
102101, 88op1std 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 1st `  w
)  =  t )
103102eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  <-> 
t  =  a ) )
104101, 88op2ndd 6361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  u )
105104breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 2nd `  w ) S b  <-> 
u S b ) )
106105notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( -.  ( 2nd `  w ) S b  <->  -.  u S
b ) )
107103, 106imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( t  =  a  ->  -.  u S b ) ) )
108100, 107imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( w  e.  s  ->  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  <->  ( <. t ,  u >.  e.  s  ->  ( t  =  a  ->  -.  u S
b ) ) ) )
10999, 108syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
110109exlimivv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
111110com3l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( E. t E. u  w  =  <. t ,  u >.  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11287, 111mpdd 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  s  /\  A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
11484, 113jcad 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  ( w  e.  s  ->  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  (
( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
115114ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  /\  A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
116115ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Rel  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
11715, 116sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
118 olc 375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
119118ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  s  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) )  ->  A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
120117, 119syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s 
( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
121 ianor 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
122 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
123 opex 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
124 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( A  X.  B )  <->  w  e.  ( A  X.  B
) ) )
125124anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) ) ) )
126 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  w
) )
127126breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w ) R ( 1st `  y ) ) )
128126eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  <->  ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y ) ) )
129 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  w  ->  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  w
) )
130129breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  w  ->  (
( 2nd `  x
) S ( 2nd `  y )  <->  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )
131128, 130anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) )
132127, 131orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) ) ) )
133125, 132anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( x  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  /\  (
( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) ) )
134 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  ( A  X.  B
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( A  X.  B ) ) )
135134anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B
) )  <->  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) ) ) )
13655, 57op1std 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  a )
137136breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
) R a ) )
138136eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y )  <-> 
( 1st `  w
)  =  a ) )
13955, 57op2ndd 6361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  b )
140139breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y )  <-> 
( 2nd `  w
) S b ) )
141138, 140anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) )
142137, 141orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( 1st `  w ) R ( 1st `  y
)  \/  ( ( 1st `  w )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y ) ) )  <->  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
143135, 142anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  w
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  w ) S ( 2nd `  y
) ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) ) )
144 frxp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( A  X.  B )  /\  y  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  x
) R ( 1st `  y )  \/  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x ) S ( 2nd `  y
) ) ) ) }
145122, 123, 133, 143, 144brab 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w T <. a ,  b
>. 
<->  ( ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  /\  ( ( 1st `  w ) R a  \/  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
146121, 145xchnxbir 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) ) )
147 ioran 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w )  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
148 ianor 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
149 pm4.62 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b )  <-> 
( -.  ( 1st `  w )  =  a  \/  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
150148, 149bitr4i 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b )  <->  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) )
151150anbi2i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  -.  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
152147, 151bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( ( 1st `  w
) R a  \/  ( ( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) )  <-> 
( -.  ( 1st `  w ) R a  /\  ( ( 1st `  w )  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w ) S b ) ) )
153152orbi2i 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B
)  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  -.  ( ( 1st `  w ) R a  \/  (
( 1st `  w
)  =  a  /\  ( 2nd `  w ) S b ) ) )  <->  ( -.  (
w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
154146, 153bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  w T <. a ,  b >.  <->  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <.
a ,  b >.  e.  ( A  X.  B
) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
155154ralbii 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. 
<-> 
A. w  e.  s  ( -.  ( w  e.  ( A  X.  B )  /\  <. a ,  b >.  e.  ( A  X.  B ) )  \/  ( -.  ( 1st `  w
) R a  /\  ( ( 1st `  w
)  =  a  ->  -.  ( 2nd `  w
) S b ) ) ) )
156120, 155syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  ->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
157156reximdv 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
158157ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  ( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
159158com23 75 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. b  e.  (
s " { a } ) A. d  e.  ( s " {
a } )  -.  d S b  -> 
( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
160159adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  -> 
( E. b  e.  ( s " {
a } ) A. d  e.  ( s " { a } )  -.  d S b  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
16176, 160sylcom 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " {
a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) )
162161impl 605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  /\  a  e.  dom  s )  ->  ( A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
163162expimpd 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B ) )  -> 
( ( a  e. 
dom  s  /\  A. c  e.  dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  ( s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
1641633adant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. b  e.  (
s " { a } ) A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
165 resss 5173 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  |`  { a } ) 
C_  s
166 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  <->  E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )
)
167 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.
168 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. a ,  b
>. ) )
169 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( w T z  <->  w T <. a ,  b >. )
)
170169notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  w T z  <->  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
171170ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( A. w  e.  s  -.  w T z  <->  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) )
172171anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) ) )
173168, 172anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. ) ) ) )
174123, 173spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.
) )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
175167, 174mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
17658, 175sylanb 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( s
" { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b
>. )  ->  E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
177176eximi 1586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( b  e.  ( s " {
a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T <. a ,  b >. )  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
178166, 177sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. b E. z
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
179 excom 1757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b E. z ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
180178, 179sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
181 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
18255elsnres 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( s  |`  { a } )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s ) )
183182anbi1i 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
184 19.41v 1925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <-> 
( E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
185 anass 632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  <. a ,  b >.  /\  <. a ,  b >.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
186185exbii 1593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( ( z  =  <. a ,  b
>.  /\  <. a ,  b
>.  e.  s )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
187183, 184, 1863bitr2i 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. b
( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
188187exbii 1593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e.  ( s  |`  { a } )  /\  A. w  e.  s  -.  w T z )  <->  E. z E. b ( z  = 
<. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b
>.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
189181, 188bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  <->  E. z E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  ( <. a ,  b >.  e.  s  /\  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
190180, 189sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z )
191 ssrexv 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  |`  { a } )  C_  s  ->  ( E. z  e.  ( s  |`  { a } ) A. w  e.  s  -.  w T z  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
192165, 190, 191mpsyl 62 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  ( s
" { a } ) A. w  e.  s  -.  w T
<. a ,  b >.  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z )
193164, 192syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  dom  s  /\  A. c  e. 
dom  s  -.  c R a )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
194193exp3a 427 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  (
a  e.  dom  s  ->  ( A. c  e. 
dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
195194rexlimdv 2831 . . . . . 6  |-  ( ( S  Fr  B  /\  s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) )
1961953expib 1157 . . . . 5  |-  ( S  Fr  B  ->  (
( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s 
A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
197196adantl 454 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  dom  s A. c  e.  dom  s  -.  c R a  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) ) )
19833, 197mpdd 39 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  ( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
199198alrimiv 1642 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  A. s ( ( s  C_  ( A  X.  B )  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
200 df-fr 4544 . 2  |-  ( T  Fr  ( A  X.  B )  <->  A. s
( ( s  C_  ( A  X.  B
)  /\  s  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  s  A. w  e.  s  -.  w T z ) )
201199, 200sylibr 205 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  S  Fr  B )  ->  T  Fr  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215   {copab 4268    Fr wfr 4541    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884   Rel wrel 4886   ` cfv 5457   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351
This theorem is referenced by:  wexp  6463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-fr 4544  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-1st 6352  df-2nd 6353
  Copyright terms: Public domain W3C validator