Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqen Structured version   Unicode version

Theorem fseqen 7900
 Description: A set that is equinumerous to its cross product is equinumerous to the set of finite sequences on it. (This can be proven more easily using some choice but this proof avoids it.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fseqen
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem fseqen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7109 . 2
2 n0 3629 . 2
3 eeanv 1937 . . 3
4 omex 7590 . . . . . . 7
5 simpl 444 . . . . . . . . 9
6 f1ofo 5673 . . . . . . . . 9
7 forn 5648 . . . . . . . . 9
85, 6, 73syl 19 . . . . . . . 8
9 vex 2951 . . . . . . . . 9
109rnex 5125 . . . . . . . 8
118, 10syl6eqelr 2524 . . . . . . 7
12 xpexg 4981 . . . . . . 7
134, 11, 12sylancr 645 . . . . . 6
14 simpr 448 . . . . . . 7
15 eqid 2435 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
16 eqid 2435 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
1711, 14, 5, 15, 16fseqenlem2 7898 . . . . . 6 seq𝜔
18 f1domg 7119 . . . . . 6 seq𝜔
1913, 17, 18sylc 58 . . . . 5
20 fseqdom 7899 . . . . . 6
2111, 20syl 16 . . . . 5
22 sbth 7219 . . . . 5
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . 4
2423exlimivv 1645 . . 3
253, 24sylbir 205 . 2
261, 2, 25syl2anb 466 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948  c0 3620  csn 3806  cop 3809  ciun 4085   class class class wbr 4204   cmpt 4258   csuc 4575  com 4837   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  wf1 5443  wfo 5444  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  seq𝜔cseqom 6696   cmap 7010   cen 7098   cdom 7099 This theorem is referenced by:  infpwfien  7935 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103
 Copyright terms: Public domain W3C validator