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Theorem fseqenlem1 7906
Description: Lemma for fseqen 7909. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fseqenlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
fseqenlem.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
fseqenlem.g  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
Assertion
Ref Expression
fseqenlem1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Distinct variable groups:    f, n, x, F    A, f, n, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( x, f, n)    C( x, f, n)    G( x, f, n)    V( x, f, n)

Proof of Theorem fseqenlem1
Dummy variables  y 
a  b  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( G `  y )  =  ( G `  C ) )
2 f1eq1 5635 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  C )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
4 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C
) )
5 f1eq2 5636 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C )  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
73, 6bitrd 246 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
( ph  ->  ( G `
 y ) : ( A  ^m  y
) -1-1-> A )  <->  ( ph  ->  ( G `  C
) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A
) ) )
9 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
10 snex 4406 . . . . . . . 8  |-  { <. (/)
,  B >. }  e.  _V
11 fseqenlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
1211seqom0g 6714 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. (/) ,  B >. }  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  { <. (/) ,  B >. } )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( G `
 (/) )  =  { <.
(/) ,  B >. }
149, 13syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  { <. (/) ,  B >. } )
15 f1eq1 5635 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  { <. (/) ,  B >. }  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
17 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) ) )
18 f1eq2 5636 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) )  ->  ( { <.
(/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( {
<. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
2016, 19bitrd 246 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
21 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( G `  y )  =  ( G `  m ) )
22 f1eq1 5635 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
24 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m
) )
25 f1eq2 5636 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m )  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2723, 26bitrd 246 . . . 4  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
28 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  m )
)
29 f1eq1 5635 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  suc  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
31 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( A  ^m  y
)  =  ( A  ^m  suc  m ) )
32 f1eq2 5636 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3430, 33bitrd 246 . . . 4  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
35 0ex 4340 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
36 fseqenlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
37 f1osng 5717 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  B  e.  A )  ->  { <. (/)
,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
3835, 36, 37sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
39 f1of1 5674 . . . . . . 7  |-  ( {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B }  ->  {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4136snssd 3944 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
42 f1ss 5645 . . . . . 6  |-  ( ( { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B }  /\  { B }  C_  A )  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
4340, 41, 42syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
44 fseqenlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
45 map0e 7052 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
47 df1o2 6737 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
4846, 47syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  { (/) } )
49 f1eq2 5636 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  (/) )  =  { (/) }  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) }
-1-1-> A ) )
5143, 50mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A )
52 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
5352ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
54 f1of 5675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) --> A )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) --> A )
56 f1f 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
5756ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
5857adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
59 elmapi 7039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  z : suc  m --> A )
6059adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
z : suc  m --> A )
61 sssucid 4659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  C_  suc  m
62 fssres 5611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
z  |`  m ) : m --> A )
6360, 61, 62sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
) : m --> A )
6444ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  A  e.  V )
65 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
66 elmapg 7032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6764, 65, 66sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6863, 67mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
)  e.  ( A  ^m  m ) )
6958, 68ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) )  e.  A )
7065sucid 4661 . . . . . . . . . . 11  |-  m  e. 
suc  m
71 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
z `  m )  e.  A )
7260, 70, 71sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z `  m
)  e.  A )
7355, 69, 72fovrnd 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) )  e.  A )
74 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
7573, 74fmptd 5894 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A )
7611seqomsuc 6715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) ) )
7776ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) ) )
78 fvex 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 m )  e. 
_V
79 reseq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  |`  a )  =  ( z  |`  a
) )
8079fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
b `  ( x  |`  a ) )  =  ( b `  (
z  |`  a ) ) )
81 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  a )  =  ( z `  a ) )
8280, 81oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( b `  (
x  |`  a ) ) F ( x `  a ) )  =  ( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) ) )
8382cbvmptv 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )
84 suceq 4647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  suc  a  =  suc  m )
8584adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  ->  suc  a  =  suc  m )
8685oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( A  ^m  suc  a )  =  ( A  ^m  suc  m
) )
87 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
b  =  ( G `
 m ) )
88 reseq2 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  (
z  |`  a )  =  ( z  |`  m
) )
8988adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  |`  a
)  =  ( z  |`  m ) )
9087, 89fveq12d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( b `  (
z  |`  a ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) )
91 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
a  =  m )
9291fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z `  a
)  =  ( z `
 m ) )
9390, 92oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) )  =  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
9486, 93mpteq12dv 4288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
9583, 94syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
96 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
97 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ b
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
98 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
99 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
100 suceq 4647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  suc  n  =  suc  a )
101100adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  suc  n  =  suc  a )
102101oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( A  ^m  suc  n )  =  ( A  ^m  suc  a
) )
103 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  f  =  b )
104 reseq2 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
x  |`  n )  =  ( x  |`  a
) )
105104adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  |`  n
)  =  ( x  |`  a ) )
106103, 105fveq12d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( f `  (
x  |`  n ) )  =  ( b `  ( x  |`  a ) ) )
107 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  n  =  a )
108107fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x `  n
)  =  ( x `
 a ) )
109106, 108oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) )  =  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
110102, 109mpteq12dv 4288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )  =  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
11196, 97, 98, 99, 110cbvmpt2 6152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) )  =  ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
112 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  ^m  suc  m )  e.  _V
113112mptex 5967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  e. 
_V
11495, 111, 113ovmpt2a 6205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  _V  /\  ( G `  m )  e.  _V )  -> 
( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
11565, 78, 114mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
11677, 115syl6eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
117116feq1d 5581 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  <->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A ) )
11875, 117mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) --> A )
119 elmapi 7039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  a : suc  m --> A )
120119ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a : suc  m
--> A )
121 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a : suc  m --> A  -> 
a  Fn  suc  m
)
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a  Fn  suc  m )
123 elmapi 7039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  b : suc  m --> A )
124123ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b : suc  m
--> A )
125 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : suc  m --> A  -> 
b  Fn  suc  m
)
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b  Fn  suc  m )
12761a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  m  C_  suc  m )
128 fvreseq 5834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  /\  m  C_ 
suc  m )  -> 
( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
129122, 126, 127, 128syl21anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
130 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
a `  x )  =  ( a `  m ) )
131 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
b `  x )  =  ( b `  m ) )
132130, 131eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) )
13365, 132ralsn 3850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x )  <-> 
( a `  m
)  =  ( b `
 m ) )
134133bicomi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  m )  =  ( b `  m )  <->  A. x  e.  { m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a `
 m )  =  ( b `  m
)  <->  A. x  e.  {
m }  ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
136129, 135anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  (
a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
137116adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
138137fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a ) )
139 reseq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  a  ->  (
z  |`  m )  =  ( a  |`  m
) )
140139fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) )
141 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
z `  m )  =  ( a `  m ) )
142140, 141oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  a  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) F ( a `  m ) ) )
143 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  e.  _V
144142, 74, 143fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
145144ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
146138, 145eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
147 df-ov 6085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )
148146, 147syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. ) )
149137fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b ) )
150 reseq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  b  ->  (
z  |`  m )  =  ( b  |`  m
) )
151150fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) )
152 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
z `  m )  =  ( b `  m ) )
153151, 152oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) F ( b `  m ) ) )
154 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  e.  _V
155153, 74, 154fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
156155ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
157149, 156eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
158 df-ov 6085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )
159157, 158syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
160148, 159eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( F `  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) ) )
16152ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
162 f1of1 5674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) -1-1-> A )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A )
-1-1-> A )
16457adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
165 fssres 5611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
a  |`  m ) : m --> A )
166120, 61, 165sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m ) : m --> A )
16744ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  A  e.  V
)
168 elmapg 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
169167, 65, 168sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
170166, 169mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
171164, 170ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  e.  A
)
172 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
a `  m )  e.  A )
173120, 70, 172sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a `  m )  e.  A
)
174 opelxpi 4911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  e.  A  /\  (
a `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
175171, 173, 174syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
176 fssres 5611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
b  |`  m ) : m --> A )
177124, 61, 176sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m ) : m --> A )
178 elmapg 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
179167, 65, 178sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
180177, 179mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
181164, 180ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  e.  A
)
182 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
b `  m )  e.  A )
183124, 70, 182sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b `  m )  e.  A
)
184 opelxpi 4911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  e.  A  /\  (
b `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
185181, 183, 184syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) ,  ( b `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
186 f1fveq 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( A  X.  A ) -1-1-> A  /\  ( <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A )  /\  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
187163, 175, 185, 186syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
188 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  e. 
_V
189 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a `
 m )  e. 
_V
190188, 189opth 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) ,  ( a `  m ) >.  =  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. 
<->  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  =  ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) )
191187, 190syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  ( (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
192 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m )
-1-1-> A )
193 f1fveq 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  /\  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  /\  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) ) )  ->  (
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  <->  ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )
) )
194192, 170, 180, 193syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  <-> 
( a  |`  m
)  =  ( b  |`  m ) ) )
195194anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) ) )
196160, 191, 1953bitrd 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( (
a  |`  m )  =  ( b  |`  m
)  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
197 eqfnfv 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  ->  (
a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
198122, 126, 197syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
199 df-suc 4588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
200199raleqi 2909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  A. x  e.  ( m  u.  {
m } ) ( a `  x )  =  ( b `  x ) )
201 ralunb 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { m } ) ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
202200, 201bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
203198, 202syl6bb 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e. 
{ m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
204136, 196, 2033bitr4d 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  a  =  b ) )
205204biimpd 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) )
206205ralrimivva 2799 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m
) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ( ( ( G `  suc  m ) `  a
)  =  ( ( G `  suc  m
) `  b )  ->  a  =  b ) )
207 dff13 6005 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  suc  m )
-1-1-> A  <->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  /\  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m ) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m
) ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
208118, 206, 207sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A )
209208expr 600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
210209expcom 426 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A  ->  ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) -1-1-> A ) ) )
21120, 27, 34, 51, 210finds2 4874 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
2128, 211vtoclga 3018 . 2  |-  ( C  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A ) )
213212impcom 421 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815   <.cop 3818    e. cmpt 4267   suc csuc 4584   omcom 4846    X. cxp 4877    |` cres 4881    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -1-1->wf1 5452   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084  seq𝜔cseqom 6705   1oc1o 6718    ^m cmap 7019
This theorem is referenced by:  fseqenlem2  7907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seqom 6706  df-1o 6725  df-map 7021
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