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Theorem fseqenlem1 7651
Description: Lemma for fseqen 7654. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fseqenlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
fseqenlem.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
fseqenlem.g  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
Assertion
Ref Expression
fseqenlem1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Distinct variable groups:    f, n, x, F    A, f, n, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( x, f, n)    C( x, f, n)    G( x, f, n)    V( x, f, n)

Proof of Theorem fseqenlem1
Dummy variables  y 
a  b  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( G `  y )  =  ( G `  C ) )
2 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  C )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
4 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C
) )
5 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C )  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
73, 6bitrd 244 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
( ph  ->  ( G `
 y ) : ( A  ^m  y
) -1-1-> A )  <->  ( ph  ->  ( G `  C
) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A
) ) )
9 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
10 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { <. (/)
,  B >. }  e.  _V
11 fseqenlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
1211seqom0g 6468 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. (/) ,  B >. }  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  { <. (/) ,  B >. } )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( G `
 (/) )  =  { <.
(/) ,  B >. }
149, 13syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  { <. (/) ,  B >. } )
15 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  { <. (/) ,  B >. }  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
17 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) ) )
18 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) )  ->  ( { <.
(/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( {
<. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
2016, 19bitrd 244 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
21 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( G `  y )  =  ( G `  m ) )
22 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
2321, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
24 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m
) )
25 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m )  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2723, 26bitrd 244 . . . 4  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
28 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  m )
)
29 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  suc  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
3028, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
31 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( A  ^m  y
)  =  ( A  ^m  suc  m ) )
32 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3331, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3430, 33bitrd 244 . . . 4  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
35 0ex 4150 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
36 fseqenlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
37 f1osng 5514 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  B  e.  A )  ->  { <. (/)
,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
3835, 36, 37sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
39 f1of1 5471 . . . . . . 7  |-  ( {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B }  ->  {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4038, 39syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4136snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
42 f1ss 5442 . . . . . 6  |-  ( ( { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B }  /\  { B }  C_  A )  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
4340, 41, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
44 fseqenlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
45 map0e 6805 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
47 df1o2 6491 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
4846, 47syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  { (/) } )
49 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  (/) )  =  { (/) }  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
) )
5048, 49syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) }
-1-1-> A ) )
5143, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A )
52 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
5352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
54 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) --> A )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) --> A )
56 f1f 5437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
5756ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
59 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  z : suc  m --> A )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
z : suc  m --> A )
61 sssucid 4469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  C_  suc  m
62 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
z  |`  m ) : m --> A )
6360, 61, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
) : m --> A )
6444ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  A  e.  V )
65 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
66 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6764, 65, 66sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6863, 67mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
)  e.  ( A  ^m  m ) )
69 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A  /\  ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  ( ( G `  m ) `  ( z  |`  m
) )  e.  A
)
7058, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) )  e.  A )
7165sucid 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  m  e. 
suc  m
72 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
z `  m )  e.  A )
7360, 71, 72sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z `  m
)  e.  A )
74 fovrn 5990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( A  X.  A ) --> A  /\  ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) )  e.  A  /\  ( z `  m
)  e.  A )  ->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) )  e.  A
)
7555, 70, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) )  e.  A )
76 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
7775, 76fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A )
7811seqomsuc 6469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) ) )
7978ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) ) )
80 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 m )  e. 
_V
81 reseq1 4949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  |`  a )  =  ( z  |`  a
) )
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
b `  ( x  |`  a ) )  =  ( b `  (
z  |`  a ) ) )
83 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  a )  =  ( z `  a ) )
8482, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( b `  (
x  |`  a ) ) F ( x `  a ) )  =  ( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) ) )
8584cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )
86 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  suc  a  =  suc  m )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  ->  suc  a  =  suc  m )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( A  ^m  suc  a )  =  ( A  ^m  suc  m
) )
89 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
b  =  ( G `
 m ) )
90 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  (
z  |`  a )  =  ( z  |`  m
) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  |`  a
)  =  ( z  |`  m ) )
9289, 91fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( b `  (
z  |`  a ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) )
93 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
a  =  m )
9493fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z `  a
)  =  ( z `
 m ) )
9592, 94oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) )  =  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
9688, 95mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
9785, 96syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
98 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
99 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ b
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
100 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
101 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
102 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  suc  n  =  suc  a )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  suc  n  =  suc  a )
104103oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( A  ^m  suc  n )  =  ( A  ^m  suc  a
) )
105 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  f  =  b )
106 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
x  |`  n )  =  ( x  |`  a
) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  |`  n
)  =  ( x  |`  a ) )
108105, 107fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( f `  (
x  |`  n ) )  =  ( b `  ( x  |`  a ) ) )
109 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  n  =  a )
110109fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x `  n
)  =  ( x `
 a ) )
111108, 110oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) )  =  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
112104, 111mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )  =  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
11398, 99, 100, 101, 112cbvmpt2 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) )  =  ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
114 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  ^m  suc  m )  e.  _V
115114mptex 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  e. 
_V
11697, 113, 115ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  _V  /\  ( G `  m )  e.  _V )  -> 
( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
11765, 80, 116mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
11879, 117syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
119118feq1d 5379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  <->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A ) )
12077, 119mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) --> A )
121 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  a : suc  m --> A )
122121ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a : suc  m
--> A )
123 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a : suc  m --> A  -> 
a  Fn  suc  m
)
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a  Fn  suc  m )
125 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  b : suc  m --> A )
126125ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b : suc  m
--> A )
127 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : suc  m --> A  -> 
b  Fn  suc  m
)
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b  Fn  suc  m )
12961a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  m  C_  suc  m )
130 fvreseq 5628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  /\  m  C_ 
suc  m )  -> 
( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
131124, 128, 129, 130syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
132 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
a `  x )  =  ( a `  m ) )
133 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
b `  x )  =  ( b `  m ) )
134132, 133eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) )
13565, 134ralsn 3674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x )  <-> 
( a `  m
)  =  ( b `
 m ) )
136135bicomi 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  m )  =  ( b `  m )  <->  A. x  e.  { m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) )
137136a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a `
 m )  =  ( b `  m
)  <->  A. x  e.  {
m }  ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
138131, 137anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  (
a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
139118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
140139fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a ) )
141 reseq1 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  a  ->  (
z  |`  m )  =  ( a  |`  m
) )
142141fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) )
143 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
z `  m )  =  ( a `  m ) )
144142, 143oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  a  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) F ( a `  m ) ) )
145 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  e.  _V
146144, 76, 145fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
147146ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
148140, 147eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
149 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )
150148, 149syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. ) )
151139fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b ) )
152 reseq1 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  b  ->  (
z  |`  m )  =  ( b  |`  m
) )
153152fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) )
154 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
z `  m )  =  ( b `  m ) )
155153, 154oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) F ( b `  m ) ) )
156 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  e.  _V
157155, 76, 156fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
158157ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
159151, 158eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
160 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )
161159, 160syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
162150, 161eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( F `  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) ) )
16352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
164 f1of1 5471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) -1-1-> A )
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A )
-1-1-> A )
16657adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
167 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
a  |`  m ) : m --> A )
168122, 61, 167sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m ) : m --> A )
16944ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  A  e.  V
)
170 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
171169, 65, 170sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
172168, 171mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
173 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A  /\  ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  ( ( G `  m ) `  ( a  |`  m
) )  e.  A
)
174166, 172, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  e.  A
)
175 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
a `  m )  e.  A )
176122, 71, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a `  m )  e.  A
)
177 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  e.  A  /\  (
a `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
178174, 176, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
179 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
b  |`  m ) : m --> A )
180126, 61, 179sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m ) : m --> A )
181 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
182169, 65, 181sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
183180, 182mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
184 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A  /\  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  ( ( G `  m ) `  ( b  |`  m
) )  e.  A
)
185166, 183, 184syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  e.  A
)
186 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
b `  m )  e.  A )
187126, 71, 186sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b `  m )  e.  A
)
188 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  e.  A  /\  (
b `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
189185, 187, 188syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) ,  ( b `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
190 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( A  X.  A ) -1-1-> A  /\  ( <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A )  /\  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
191165, 178, 189, 190syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
192 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  e. 
_V
193 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a `
 m )  e. 
_V
194192, 193opth 4245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) ,  ( a `  m ) >.  =  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. 
<->  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  =  ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) )
195191, 194syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  ( (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
196 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m )
-1-1-> A )
197 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  /\  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  /\  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) ) )  ->  (
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  <->  ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )
) )
198196, 172, 183, 197syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  <-> 
( a  |`  m
)  =  ( b  |`  m ) ) )
199198anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) ) )
200162, 195, 1993bitrd 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( (
a  |`  m )  =  ( b  |`  m
)  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
201 eqfnfv 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  ->  (
a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
202124, 128, 201syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
203 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
204203raleqi 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  A. x  e.  ( m  u.  {
m } ) ( a `  x )  =  ( b `  x ) )
205 ralunb 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { m } ) ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
206204, 205bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
207202, 206syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e. 
{ m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
208138, 200, 2073bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  a  =  b ) )
209208biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) )
210209ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m
) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ( ( ( G `  suc  m ) `  a
)  =  ( ( G `  suc  m
) `  b )  ->  a  =  b ) )
211 dff13 5783 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  suc  m )
-1-1-> A  <->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  /\  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m ) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m
) ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
212120, 210, 211sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A )
213212expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
214213expcom 424 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A  ->  ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) -1-1-> A ) ) )
21520, 27, 34, 51, 214finds2 4684 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
2168, 215vtoclga 2849 . 2  |-  ( C  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A ) )
217216impcom 419 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459   1oc1o 6472    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  fseqenlem2  7652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-map 6774
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