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Theorem fseqenlem2 7907
 Description: Lemma for fseqen 7909. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a
fseqenlem.b
fseqenlem.f
fseqenlem.g seq𝜔
fseqenlem.k
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4098 . . . . 5
2 elmapi 7039 . . . . . . . . . 10
32ad2antll 711 . . . . . . . . 9
4 fdm 5596 . . . . . . . . 9
53, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 simprl 734 . . . . . . . 8
75, 6eqeltrd 2511 . . . . . . 7
85fveq2d 5733 . . . . . . . . 9
98fveq1d 5731 . . . . . . . 8
10 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . 12
11 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . 12
12 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12
13 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
1410, 11, 12, 13fseqenlem1 7906 . . . . . . . . . . 11
1514adantrr 699 . . . . . . . . . 10
16 f1f 5640 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 simprr 735 . . . . . . . . 9
1917, 18ffvelrnd 5872 . . . . . . . 8
209, 19eqeltrd 2511 . . . . . . 7
21 opelxpi 4911 . . . . . . 7
227, 20, 21syl2anc 644 . . . . . 6
2322rexlimdvaa 2832 . . . . 5
241, 23syl5bi 210 . . . 4
2524imp 420 . . 3
26 fseqenlem.k . . 3
2725, 26fmptd 5894 . 2
28 ffun 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 funbrfv2b 5772 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simplbda 609 . . . . . . . . . . . . 13
3230simprbda 608 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 fdm 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
3632, 35eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
37 dmeq 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4038, 39fveq12d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4137, 40opeq12d 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 opex 4428 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 26, 42fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . . . 14
4436, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4531, 44eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . 12
4645fveq2d 5733 . . . . . . . . . . 11
47 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13
4847dmex 5133 . . . . . . . . . . . 12
49 fvex 5743 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49op1st 6356 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10
5251fveq2d 5733 . . . . . . . . 9
5352cnveqd 5049 . . . . . . . 8
5445fveq2d 5733 . . . . . . . . 9
5548, 49op2nd 6357 . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eq 2485 . . . . . . . 8
5753, 56fveq12d 5735 . . . . . . 7
58 eliun 4098 . . . . . . . . . . . . 13
59 elmapi 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 fdm 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6662oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
6864, 67jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14
6968rexlimiva 2826 . . . . . . . . . . . . 13
7058, 69sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12
7136, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 447 . . . . . . . . . 10
7310, 11, 12, 13fseqenlem1 7906 . . . . . . . . . 10
7472, 73syldan 458 . . . . . . . . 9
75 f1f1orn 5686 . . . . . . . . 9
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8
7771simprd 451 . . . . . . . 8
78 f1ocnvfv1 6015 . . . . . . . 8
7976, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . 7
8057, 79eqtr2d 2470 . . . . . 6
8180ex 425 . . . . 5
8281alrimiv 1642 . . . 4
83 mo2icl 3114 . . . 4
8482, 83syl 16 . . 3
8584alrimiv 1642 . 2
86 dff12 5639 . 2
8727, 85, 86sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  wmo 2283  wrex 2707  cvv 2957  c0 3629  csn 3815  cop 3818  ciun 4094   class class class wbr 4213   cmpt 4267   csuc 4584  com 4846   cxp 4877  ccnv 4878   cdm 4879   crn 4880   cres 4881   wfun 5449  wf 5451  wf1 5452  wf1o 5454  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmpt2 6084  c1st 6348  c2nd 6349  seq𝜔cseqom 6705   cmap 7019 This theorem is referenced by:  fseqen  7909  pwfseqlem5  8539 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seqom 6706  df-1o 6725  df-map 7021
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