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Theorem fseqenlem2 7652
Description: Lemma for fseqen 7654. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fseqenlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
fseqenlem.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
fseqenlem.g  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
fseqenlem.k  |-  K  =  ( y  e.  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )  |->  <. dom  y ,  ( ( G `  dom  y
) `  y ) >. )
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2  |-  ( ph  ->  K : U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) -1-1-> ( om 
X.  A ) )
Distinct variable groups:    y, B    f, n, x, F    y,
k, G    f, k,
y, A, n, x    ph, k, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( x, f, k, n)    F( y, k)    G( x, f, n)    K( x, y, f, k, n)    V( x, y, f, k, n)

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k )  <->  E. k  e.  om  y  e.  ( A  ^m  k ) )
2 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  ^m  k )  ->  y : k --> A )
32ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
y : k --> A )
4 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : k --> A  ->  dom  y  =  k
)
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  ->  dom  y  =  k
)
6 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
k  e.  om )
75, 6eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  ->  dom  y  e.  om )
85fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( G `  dom  y )  =  ( G `  k ) )
98fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( ( G `  dom  y ) `  y
)  =  ( ( G `  k ) `
 y ) )
10 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
12 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
13 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
1410, 11, 12, 13fseqenlem1 7651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( G `  k ) : ( A  ^m  k )
-1-1-> A )
1514adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( G `  k
) : ( A  ^m  k ) -1-1-> A
)
16 f1f 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  k ) : ( A  ^m  k ) -1-1-> A  -> 
( G `  k
) : ( A  ^m  k ) --> A )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( G `  k
) : ( A  ^m  k ) --> A )
18 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
y  e.  ( A  ^m  k ) )
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  k
) : ( A  ^m  k ) --> A  /\  y  e.  ( A  ^m  k ) )  ->  ( ( G `  k ) `  y )  e.  A
)
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( ( G `  k ) `  y
)  e.  A )
219, 20eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  -> 
( ( G `  dom  y ) `  y
)  e.  A )
22 opelxpi 4721 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  y  e.  om  /\  ( ( G `  dom  y ) `  y
)  e.  A )  ->  <. dom  y , 
( ( G `  dom  y ) `  y
) >.  e.  ( om 
X.  A ) )
237, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  om  /\  y  e.  ( A  ^m  k
) ) )  ->  <. dom  y ,  ( ( G `  dom  y ) `  y
) >.  e.  ( om 
X.  A ) )
2423expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( y  e.  ( A  ^m  k
)  ->  <. dom  y ,  ( ( G `
 dom  y ) `  y ) >.  e.  ( om  X.  A ) ) )
2524rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
om  y  e.  ( A  ^m  k )  ->  <. dom  y , 
( ( G `  dom  y ) `  y
) >.  e.  ( om 
X.  A ) ) )
261, 25syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )  ->  <. dom  y ,  ( ( G `  dom  y ) `  y
) >.  e.  ( om 
X.  A ) ) )
2726imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) )  ->  <. dom  y , 
( ( G `  dom  y ) `  y
) >.  e.  ( om 
X.  A ) )
28 fseqenlem.k . . 3  |-  K  =  ( y  e.  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )  |->  <. dom  y ,  ( ( G `  dom  y
) `  y ) >. )
2927, 28fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  K : U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) --> ( om 
X.  A ) )
30 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K : U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k ) --> ( om 
X.  A )  ->  Fun  K )
31 funbrfv2b 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
K  ->  ( z K w  <->  ( z  e. 
dom  K  /\  ( K `  z )  =  w ) ) )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z K w  <-> 
( z  e.  dom  K  /\  ( K `  z )  =  w ) ) )
3332simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( K `  z )  =  w )
3432simprbda 606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  z  e.  dom  K )
35 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K : U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k ) --> ( om 
X.  A )  ->  dom  K  =  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) )
3629, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  K  =  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  dom  K  =  U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k ) )
3834, 37eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  z  e.  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
39 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  dom  y  =  dom  z )
4039fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  dom  y )  =  ( G `  dom  z ) )
41 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
4240, 41fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  dom  y ) `  y
)  =  ( ( G `  dom  z
) `  z )
)
4339, 42opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  <. dom  y ,  ( ( G `
 dom  y ) `  y ) >.  =  <. dom  z ,  ( ( G `  dom  z
) `  z ) >. )
44 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. dom  z ,  ( ( G `
 dom  z ) `  z ) >.  e.  _V
4543, 28, 44fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k )  ->  ( K `  z )  =  <. dom  z , 
( ( G `  dom  z ) `  z
) >. )
4638, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( K `  z )  =  <. dom  z , 
( ( G `  dom  z ) `  z
) >. )
4733, 46eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  w  =  <. dom  z , 
( ( G `  dom  z ) `  z
) >. )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( 1st `  w )  =  ( 1st `  <. dom  z ,  ( ( G `  dom  z
) `  z ) >. ) )
49 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
5049dmex 4941 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  z  e.  _V
51 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  dom  z
) `  z )  e.  _V
5250, 51op1st 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. dom  z , 
( ( G `  dom  z ) `  z
) >. )  =  dom  z
5348, 52syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( 1st `  w )  =  dom  z )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( G `  ( 1st `  w ) )  =  ( G `  dom  z ) )
5554cnveqd 4857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  `' ( G `  ( 1st `  w ) )  =  `' ( G `  dom  z ) )
5647fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( 2nd `  w )  =  ( 2nd `  <. dom  z ,  ( ( G `  dom  z
) `  z ) >. ) )
5750, 51op2nd 6129 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd `  <. dom  z , 
( ( G `  dom  z ) `  z
) >. )  =  ( ( G `  dom  z ) `  z
)
5856, 57syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( 2nd `  w )  =  ( ( G `  dom  z ) `  z
) )
5955, 58fveq12d 5531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( `' ( G `  ( 1st `  w ) ) `  ( 2nd `  w ) )  =  ( `' ( G `
 dom  z ) `  ( ( G `  dom  z ) `  z
) ) )
60 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k )  <->  E. k  e.  om  z  e.  ( A  ^m  k ) )
61 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A  ^m  k )  ->  z : k --> A )
6261adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
z : k --> A )
63 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z : k --> A  ->  dom  z  =  k
)
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  ->  dom  z  =  k
)
65 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
k  e.  om )
6664, 65eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  ->  dom  z  e.  om )
67 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
z  e.  ( A  ^m  k ) )
6864oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
( A  ^m  dom  z )  =  ( A  ^m  k ) )
6967, 68eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
z  e.  ( A  ^m  dom  z ) )
7066, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  k ) )  -> 
( dom  z  e.  om 
/\  z  e.  ( A  ^m  dom  z
) ) )
7170rexlimiva 2662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  om  z  e.  ( A  ^m  k
)  ->  ( dom  z  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  dom  z ) ) )
7260, 71sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k )  ->  ( dom  z  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  dom  z ) ) )
7338, 72syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( dom  z  e.  om  /\  z  e.  ( A  ^m  dom  z ) ) )
7473simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  dom  z  e.  om )
7510, 11, 12, 13fseqenlem1 7651 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  z  e. 
om )  ->  ( G `  dom  z ) : ( A  ^m  dom  z ) -1-1-> A )
7674, 75syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( G `  dom  z ) : ( A  ^m  dom  z ) -1-1-> A )
77 f1f1orn 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  dom  z
) : ( A  ^m  dom  z )
-1-1-> A  ->  ( G `  dom  z ) : ( A  ^m  dom  z ) -1-1-onto-> ran  ( G `  dom  z ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( G `  dom  z ) : ( A  ^m  dom  z ) -1-1-onto-> ran  ( G `  dom  z ) )
7973simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  z  e.  ( A  ^m  dom  z ) )
80 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  dom  z ) : ( A  ^m  dom  z
)
-1-1-onto-> ran  ( G `  dom  z )  /\  z  e.  ( A  ^m  dom  z ) )  -> 
( `' ( G `
 dom  z ) `  ( ( G `  dom  z ) `  z
) )  =  z )
8178, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  ( `' ( G `  dom  z ) `  (
( G `  dom  z ) `  z
) )  =  z )
8259, 81eqtr2d 2316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z K w )  ->  z  =  ( `' ( G `  ( 1st `  w ) ) `  ( 2nd `  w ) ) )
8382ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z K w  ->  z  =  ( `' ( G `  ( 1st `  w ) ) `  ( 2nd `  w ) ) ) )
8483alrimiv 1617 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z ( z K w  ->  z  =  ( `' ( G `  ( 1st `  w ) ) `  ( 2nd `  w ) ) ) )
85 mo2icl 2944 . . . 4  |-  ( A. z ( z K w  ->  z  =  ( `' ( G `  ( 1st `  w ) ) `  ( 2nd `  w ) ) )  ->  E* z  z K w )
8684, 85syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E* z  z K w )
8786alrimiv 1617 . 2  |-  ( ph  ->  A. w E* z 
z K w )
88 dff12 5436 . 2  |-  ( K : U_ k  e. 
om  ( A  ^m  k ) -1-1-> ( om 
X.  A )  <->  ( K : U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) --> ( om  X.  A )  /\  A. w E* z  z K w ) )
8929, 87, 88sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  K : U_ k  e.  om  ( A  ^m  k ) -1-1-> ( om 
X.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121  seq𝜔cseqom 6459    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  fseqen  7654  pwfseqlem5  8285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-map 6774
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