MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Unicode version

Theorem fsequb 11053
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Distinct variable groups:    x, k, F    k, M, x    k, N, x

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11050 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
2 fimaxre3 9719 . . 3  |-  ( ( ( M ... N
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y )
31, 2mpan 651 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
)
4 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  <->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
) )
5 peano2re 9001 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
6 ltp1 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  <  ( y  +  1 ) )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
9 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  e.  RR )
105adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( y  +  1 )  e.  RR )
11 lelttr 8928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
137, 12mpan2d 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k )  <_  y  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1413expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  <_  y )  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1514ralimdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) ) )
16 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  <  x  <->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1716ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x  <->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1817rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x )
195, 15, 18ee12an 1353 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
204, 19syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2120exp3a 425 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
) ) )
2221impcom 419 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2322rexlimdva 2680 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
243, 23mpd 14 1  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   ...cfz 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator