MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Structured version   Unicode version

Theorem fsequb 11316
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Distinct variable groups:    x, k, F    k, M, x    k, N, x

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11313 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
2 fimaxre3 9959 . . 3  |-  ( ( ( M ... N
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y )
31, 2mpan 653 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
)
4 r19.26 2840 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  <->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
) )
5 peano2re 9241 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
6 ltp1 9850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
76adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  <  ( y  +  1 ) )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
9 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  e.  RR )
105adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( y  +  1 )  e.  RR )
11 lelttr 9167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
137, 12mpan2d 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k )  <_  y  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1413expimpd 588 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  <_  y )  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1514ralimdv 2787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) ) )
16 breq2 4218 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  <  x  <->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1716ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x  <->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1817rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x )
195, 15, 18ee12an 1373 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
204, 19syl5bir 211 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2120exp3a 427 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
) ) )
2221impcom 421 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2322rexlimdva 2832 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
243, 23mpd 15 1  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123   ...cfz 11045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator