Theorem fsn 3819

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 3625	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
3		elsn 2411	. . . . . . . . 9 |- (x e. {A} <-> x = A)
4		elsn 2411	. . . . . . . . 9 |- (y e. {B} <-> y = B)
5	3, 4	anbi12i 481	. . . . . . . 8 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
6	2, 5	sylib 198	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
8		opeq12 2480	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
9	8	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
10		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
11	10	snid 2425	. . . . . . . . 9 |- A e. {A}
12		feu 3632	. . . . . . . . 9 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
13	11, 12	mpan2 694	. . . . . . . 8 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
14		fsn.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
15	14	eueq1 1908	. . . . . . . . . 10 |- E!y y = B
16	15	biantru 722	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
17		euanv 1425	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
18		opeq2 2479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
19	18	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
20	19	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
21	4	anbi1i 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
22		ancom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
23	20, 21, 22	3bitr4r 184	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
24	23	eubii 1380	. . . . . . . . . 10 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25		df-reu 1643	. . . . . . . . . 10 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
26	24, 25	bitr4 176	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
27	16, 17, 26	3bitr2 179	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
28	13, 27	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
29	9, 28	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
30	7, 29	impbid 514	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
31		opex 2772	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
32	31	elsnc 2421	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
33		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
34	33, 1, 14	opth 2777	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
35	32, 34	bitr2 174	. . . . 5 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
36	30, 35	syl6bb 534	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
37	36	19.21aivv 1282	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
38		frel 3616	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> Rel F)
39	10	relsn 3244	. . . . 5 |- Rel {<.A, B>.}
40	38, 39	jctir 293	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (Rel F /\ Rel {<.A, B>.}))
41		eqrel 3240	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel {<.A, B>.}) -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
42	40, 41	syl 10	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
43	37, 42	mpbird 196	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
44	10, 14	f1osn 3704	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
45		f1oeq1 3669	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
46	44, 45	mpbiri 194	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
47		f1of 3674	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
48	46, 47	syl 10	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
49	43, 48	impbi 157	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E!weu 1373  E!wreu 1639  Vcvv 1802  {csn 2399  <.cop 2401  Rel wrel 3165  -->wf 3168  -1-1-onto->wf1o 3171

This theorem is referenced by:  xpsn 3820  fsn2 3821  mapsn 4329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-reu 1643  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187

Copyright terms: Public domain