MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsn Unicode version

Theorem fsn 5696
Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
fsn.1  |-  A  e. 
_V
fsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fsn  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem fsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelf 5404 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } ) )
2 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
3 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
42, 3anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } )  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )
51, 4sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  =  A  /\  y  =  B )
)
65ex 423 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
7 fsn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
87snid 3667 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
{ A }
9 feu 5417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  A  e.  { A } )  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
108, 9mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
113anbi1i 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y
>.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
12 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
1312eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1413pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
15 ancom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1614, 15bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B
) )
1711, 16bitr2i 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
1817eubii 2152 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  E! y ( y  e. 
{ B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
19 fsn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
2019eueq1 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  E! y  y  =  B
2120biantru 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
22 euanv 2204 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
2321, 22bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B ) )
24 df-reu 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y
( y  e.  { B }  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
2518, 23, 243bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
2610, 25sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  <. A ,  B >.  e.  F )
27 opeq12 3798 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
2827eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
2926, 28syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  (
( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
306, 29impbid 183 . . . . 5  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
31 opex 4237 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
3231elsnc 3663 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
337, 19opth2 4248 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
3432, 33bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
3530, 34syl6bb 252 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
3635alrimivv 1618 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
37 frel 5392 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  Rel  F )
387, 19relsnop 4791 . . . 4  |-  Rel  { <. A ,  B >. }
39 eqrel 4777 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  {
<. A ,  B >. } )  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 643 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4136, 40mpbird 223 . 2  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  F  =  { <. A ,  B >. } )
427, 19f1osn 5513 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
43 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } ) )
4442, 43mpbiri 224 . . 3  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } -1-1-onto-> { B } )
45 f1of 5472 . . 3  |-  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  ->  F : { A } --> { B } )
4644, 45syl 15 . 2  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } --> { B } )
4741, 46impbii 180 1  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   E!wreu 2545   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   Rel wrel 4694   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  fsng  5697  fsn2  5698  mapsn  6809  ginvsn  21016  axlowdimlem7  24576  fdc  26455  ftp  26893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator