MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnunf Structured version   Unicode version

Theorem fsnunf 5923
Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  F : S --> T )
2 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  V )
3 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
4 f1osng 5708 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X }
-1-1-onto-> { Y } )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6 f1of 5666 . . . 4  |-  ( {
<. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y }  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
8 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  S )
9 disjsn 3860 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  S )
108, 9sylibr 204 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( S  i^i  { X }
)  =  (/) )
11 fun 5599 . . 3  |-  ( ( ( F : S --> T  /\  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y }
)  /\  ( S  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
121, 7, 10, 11syl21anc 1183 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
13 snssi 3934 . . . . 5  |-  ( Y  e.  T  ->  { Y }  C_  T )
14133ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { Y }  C_  T )
15 ssequn2 3512 . . . 4  |-  ( { Y }  C_  T  <->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
17 feq3 5570 . . 3  |-  ( ( T  u.  { Y } )  =  T  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
)  <->  ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> T ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> ( T  u.  { Y } )  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T ) )
1912, 18mpbid 202 1  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cop 3809   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445
This theorem is referenced by:  fsnunf2  5924  fnchoice  27667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator