MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnunf2 Structured version   Unicode version

Theorem fsnunf2 5934
Description: Adjoining a point to a punctured function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )

Proof of Theorem fsnunf2
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  F : ( S  \  { X } ) --> T )
2 simp2 959 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  S )
3 neldifsnd 3932 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
4 simp3 960 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
5 fsnunf 5933 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  ( X  e.  S  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
61, 2, 3, 4, 5syl121anc 1190 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
7 difsnid 3946 . . . 4  |-  ( X  e.  S  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
873ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
98feq2d 5583 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) --> T  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T ) )
106, 9mpbid 203 1  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320   {csn 3816   <.cop 3819   -->wf 5452
This theorem is referenced by:  islindf4  27287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463
  Copyright terms: Public domain W3C validator