MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnunf2 Unicode version

Theorem fsnunf2 5735
Description: Adjoining a point to a punctured function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )

Proof of Theorem fsnunf2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  F : ( S  \  { X } ) --> T )
2 simp2 956 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  S )
3 snidg 3678 . . . . 5  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
4 elndif 3313 . . . . 5  |-  ( X  e.  { X }  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( X  e.  S  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
653ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
7 simp3 957 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
8 fsnunf 5734 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  ( X  e.  S  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
91, 2, 6, 7, 8syl121anc 1187 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
10 difsnid 3777 . . . 4  |-  ( X  e.  S  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
11103ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
1211feq2d 5396 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) --> T  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T ) )
139, 12mpbid 201 1  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163   {csn 3653   <.cop 3656   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  islindf4  27411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278
  Copyright terms: Public domain W3C validator