MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fssres Structured version   Unicode version

Theorem fssres 5610
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fssres  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )

Proof of Theorem fssres
StepHypRef Expression
1 df-f 5458 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
2 fnssres 5558 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C )  Fn  C )
3 resss 5170 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  C )  C_  F
4 rnss 5098 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  C )  C_  F  ->  ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F
6 sstr 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  B )  ->  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B )
75, 6mpan 652 . . . . 5  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B )
82, 7anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  /\  ran  F  C_  B )  ->  (
( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B ) )
98an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B
)  /\  C  C_  A
)  ->  ( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B ) )
101, 9sylanb 459 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B
) )
11 df-f 5458 . 2  |-  ( ( F  |`  C ) : C --> B  <->  ( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B ) )
1210, 11sylibr 204 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    C_ wss 3320   ran crn 4879    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450
This theorem is referenced by:  fssres2  5611  fresin  5612  fresaun  5614  f1ssres  5646  feqresmpt  5780  f2ndf  6452  pmresg  7041  mapunen  7276  fofinf1o  7387  fseqenlem1  7905  inar1  8650  gruima  8677  addnqf  8825  mulnqf  8826  fseq1p1m1  11122  injresinj  11200  seqf1olem2  11363  rlimres  12352  lo1res  12353  vdwnnlem1  13363  ramub2  13382  ramub1lem2  13395  funcres  14093  resmhm  14759  resghm  15022  gasubg  15079  gsumzres  15517  gsumzaddlem  15526  gsumzadd  15527  gsum2d  15546  dprdfadd  15578  dprdres  15586  dprdf1  15591  dmdprdsplitlem  15595  dmdprdsplit2lem  15603  dmdprdsplit2  15604  dprdsplit  15606  dpjidcl  15616  ablfac1eulem  15630  ablfac1eu  15631  abvres  15927  znf1o  16832  cnpresti  17352  cnprest  17353  kgencn  17588  ptrescn  17671  hmeores  17803  ptuncnv  17839  ptunhmeo  17840  ptcmpfi  17845  tsmslem1  18158  tsmssubm  18172  tsmsres  18173  tsmsf1o  18174  tsmsmhm  18175  tsmsadd  18176  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183  psmetres2  18345  xmetres2  18391  metres2  18393  imasdsf1olem  18403  xmetresbl  18467  xrge0gsumle  18864  xrge0tsms  18865  rescncf  18927  ovolicc2lem4  19416  mbfres2  19537  limcdif  19763  limcflf  19768  limcmo  19769  limcres  19773  limciun  19781  dvres  19798  dvres3  19800  dvres3a  19801  dvlip  19877  dvlipcn  19878  dvlip2  19879  dvgt0lem1  19886  dvivthlem1  19892  lhop  19900  aannenlem1  20245  ulmres  20304  ulmss  20313  pserdvlem2  20344  logcn  20538  dvlog  20542  dvlog2  20544  logtayl  20551  dvatan  20775  atancn  20776  efrlim  20808  jensenlem2  20826  jensen  20827  amgm  20829  dchrelbas2  21021  uhgrares  21343  umgrares  21359  redwlk  21606  eupares  21697  issubgoi  21898  hhssnv  22764  xrge0tsmsd  24223  measres  24576  cntmeas  24580  cvmliftlem6  24977  cvmlift2lem11  25000  mbfresfi  26253  mbfposadd  26254  itg2gt0cn  26260  sdclem2  26446  ralxpmap  26742  elmapssres  26771  mzpcompact2lem  26808  eldiophb  26815  eldioph2  26820  aomclem4  27132  pwssplit0  27164  frlmsplit2  27220  islindf4  27285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458
  Copyright terms: Public domain W3C validator