MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fssres Unicode version

Theorem fssres 5424
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fssres  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )

Proof of Theorem fssres
StepHypRef Expression
1 df-f 5275 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
2 fnssres 5373 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C )  Fn  C )
3 resss 4995 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  C )  C_  F
4 rnss 4923 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  C )  C_  F  ->  ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F
6 sstr 3200 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( F  |`  C )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  B )  ->  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B )
75, 6mpan 651 . . . . 5  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B )
82, 7anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  /\  ran  F  C_  B )  ->  (
( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C ) 
C_  B ) )
98an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B
)  /\  C  C_  A
)  ->  ( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B ) )
101, 9sylanb 458 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B
) )
11 df-f 5275 . 2  |-  ( ( F  |`  C ) : C --> B  <->  ( ( F  |`  C )  Fn  C  /\  ran  ( F  |`  C )  C_  B ) )
1210, 11sylibr 203 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    C_ wss 3165   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  fssres2  5425  fresin  5426  fresaun  5428  f1ssres  5460  feqresmpt  5592  pmresg  6811  mapunen  7046  fofinf1o  7153  fseqenlem1  7667  inar1  8413  gruima  8440  addnqf  8588  mulnqf  8589  fseq1p1m1  10873  seqf1olem2  11102  rlimres  12048  lo1res  12049  vdwnnlem1  13058  ramub2  13077  ramub1lem2  13090  funcres  13786  resmhm  14452  resghm  14715  gasubg  14772  gsumzres  15210  gsumzaddlem  15219  gsumzadd  15220  gsum2d  15239  dprdfadd  15271  dprdres  15279  dprdf1  15284  dmdprdsplitlem  15288  dmdprdsplit2lem  15296  dmdprdsplit2  15297  dprdsplit  15299  dpjidcl  15309  ablfac1eulem  15323  ablfac1eu  15324  abvres  15620  znf1o  16521  cnpresti  17032  cnprest  17033  kgencn  17267  ptrescn  17349  hmeores  17478  ptuncnv  17514  ptunhmeo  17515  ptcmpfi  17520  tsmslem1  17827  tsmssubm  17841  tsmsres  17842  tsmsf1o  17843  tsmsmhm  17844  tsmsadd  17845  tsmsxplem1  17851  tsmsxplem2  17852  xmetres2  17941  metres2  17943  imasdsf1olem  17953  xmetresbl  17999  xrge0gsumle  18354  xrge0tsms  18355  rescncf  18417  ovolicc2lem4  18895  mbfres2  19016  limcdif  19242  limcflf  19247  limcmo  19248  limcres  19252  limciun  19260  dvres  19277  dvres3  19279  dvres3a  19280  dvlip  19356  dvlipcn  19357  dvlip2  19358  dvgt0lem1  19365  dvivthlem1  19371  lhop  19379  aannenlem1  19724  ulmres  19783  ulmss  19790  pserdvlem2  19820  logcn  20010  dvlog  20014  dvlog2  20016  logtayl  20023  dvatan  20247  atancn  20248  efrlim  20280  jensenlem2  20298  jensen  20299  amgm  20301  dchrelbas2  20492  issubgoi  20993  hhssnv  21857  xrge0tsmsd  23397  measres  23564  cntmeas  23568  coinflipspace  23696  cvmliftlem6  23836  cvmlift2lem11  23859  umgrares  23891  eupares  23914  itg2gt0cn  25006  nZdef  25283  islimrs3  25684  islimrs4  25685  sdclem2  26555  ralxpmap  26864  elmapssres  26895  mzpcompact2lem  26932  eldiophb  26939  eldioph2  26944  aomclem4  27257  pwssplit0  27290  frlmsplit2  27346  islindf4  27411  injresinj  28215  redwlk  28364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275
  Copyright terms: Public domain W3C validator