Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsubbas Unicode version

Theorem fsubbas 17578
 Description: A condition for a set to generate a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsubbas

Proof of Theorem fsubbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbasne0 17541 . . . . . 6
2 fvprc 5535 . . . . . . 7
32necon1ai 2501 . . . . . 6
41, 3syl 15 . . . . 5
5 ssfii 7188 . . . . 5
64, 5syl 15 . . . 4
7 fbsspw 17543 . . . 4
86, 7sstrd 3202 . . 3
9 fieq0 7190 . . . . . 6
109necon3bid 2494 . . . . 5
1110biimpar 471 . . . 4
124, 1, 11syl2anc 642 . . 3
13 0nelfb 17542 . . 3
148, 12, 133jca 1132 . 2
15 simpr1 961 . . . . 5
16 fipwss 7198 . . . . 5
1715, 16syl 15 . . . 4
18 pwexg 4210 . . . . . . . 8
1918adantr 451 . . . . . . 7
20 ssexg 4176 . . . . . . 7
2115, 19, 20syl2anc 642 . . . . . 6
22 simpr2 962 . . . . . 6
2310biimpa 470 . . . . . 6
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . 5
25 simpr3 963 . . . . . 6
26 df-nel 2462 . . . . . 6
2725, 26sylibr 203 . . . . 5
28 fiin 7191 . . . . . . . 8
29 ssid 3210 . . . . . . . 8
30 sseq1 3212 . . . . . . . . 9
3130rspcev 2897 . . . . . . . 8
3228, 29, 31sylancl 643 . . . . . . 7
3332rgen2a 2622 . . . . . 6
3433a1i 10 . . . . 5
3524, 27, 343jca 1132 . . . 4
36 isfbas2 17546 . . . . 5
3736adantr 451 . . . 4
3817, 35, 37mpbir2and 888 . . 3
3938ex 423 . 2
4014, 39impbid2 195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wcel 1696   wne 2459   wnel 2460  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  cfv 5271  cfi 7180  cfbas 17534 This theorem is referenced by:  isufil2  17619  ufileu  17630  filufint  17631  fmfnfm  17669  hausflim  17692  flimclslem  17695  fclsfnflim  17738  flimfnfcls  17739  fclscmp  17741  efilcp  25655  fgsb2  25658 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-fbas 17536
 Copyright terms: Public domain W3C validator