Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsubbas Structured version   Unicode version

Theorem fsubbas 17901
 Description: A condition for a set to generate a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsubbas

Proof of Theorem fsubbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbasne0 17864 . . . . . 6
2 fvprc 5724 . . . . . . 7
32necon1ai 2648 . . . . . 6
41, 3syl 16 . . . . 5
5 ssfii 7426 . . . . 5
64, 5syl 16 . . . 4
7 fbsspw 17866 . . . 4
86, 7sstrd 3360 . . 3
9 fieq0 7428 . . . . . 6
109necon3bid 2638 . . . . 5
1110biimpar 473 . . . 4
124, 1, 11syl2anc 644 . . 3
13 0nelfb 17865 . . 3
148, 12, 133jca 1135 . 2
15 simpr1 964 . . . . 5
16 fipwss 7436 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
18 pwexg 4385 . . . . . . . 8
1918adantr 453 . . . . . . 7
2019, 15ssexd 4352 . . . . . 6
21 simpr2 965 . . . . . 6
2210biimpa 472 . . . . . 6
2320, 21, 22syl2anc 644 . . . . 5
24 simpr3 966 . . . . . 6
25 df-nel 2604 . . . . . 6
2624, 25sylibr 205 . . . . 5
27 fiin 7429 . . . . . . . 8
28 ssid 3369 . . . . . . . 8
29 sseq1 3371 . . . . . . . . 9
3029rspcev 3054 . . . . . . . 8
3127, 28, 30sylancl 645 . . . . . . 7
3231rgen2a 2774 . . . . . 6
3332a1i 11 . . . . 5
3423, 26, 333jca 1135 . . . 4
35 isfbas2 17869 . . . . 5
3635adantr 453 . . . 4
3717, 34, 36mpbir2and 890 . . 3
3837ex 425 . 2
3914, 38impbid2 197 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wcel 1726   wne 2601   wnel 2602  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cfv 5456  cfi 7417  cfbas 16691 This theorem is referenced by:  isufil2  17942  ufileu  17953  filufint  17954  fmfnfm  17992  hausflim  18015  flimclslem  18018  fclsfnflim  18061  flimfnfcls  18062  fclscmp  18064 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-fbas 16701
 Copyright terms: Public domain W3C validator