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Theorem fsum 12434
Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
fsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fsum.3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsum.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
Assertion
Ref Expression
fsum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) )
Distinct variable groups:    B, n    C, k    k, n, F    ph, k, n    A, k, n    k, G, n   
k, M, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( n)

Proof of Theorem fsum
Dummy variables  f 
i  j  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sum 12400 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
2 fvex 5675 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  e.  _V
3 nfcv 2516 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
4 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  j  e.  A
5 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
6 nfcv 2516 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
0
74, 5, 6nfif 3699 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )
8 eleq1 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
9 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
10 eqidd 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  0  =  0 )
118, 9, 10ifbieq12d 3697 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
123, 7, 11cbvmpt 4233 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
13 fsum.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
155nfel1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
169eleq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 2982 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
19 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
2019csbeq1d 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B )
21 csbco 3196 . . . . . . . . . 10  |-  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B
2220, 21syl6eqr 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B )
2322cbvmptv 4234 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( i  e.  NN  |->  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B
)
2412, 18, 23summo 12431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
25 fsum.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
26 fsum.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... M
) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> A )
29 ovex 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
30 fex 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( 1 ... M )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
32 nnuz 10446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3325, 32syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
34 fsum.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
35 elfznn 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  NN )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  n  e.  NN )
37 fvex 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 n )  e. 
_V
3834, 37syl6eqelr 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C  e.  _V )
39 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  C )  =  ( n  e.  NN  |->  C )
4039fvmpt2 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  =  C )
4136, 38, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  C )
4234, 41eqtr4d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n ) )
4342ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n ) )
44 nffvmpt1 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
4544nfeq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
46 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
47 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) )
4846, 47eqeq12d 2394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  <-> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
4945, 48rspc 2982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( A. n  e.  (
1 ... M ) ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n )  -> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
5043, 49mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 k ) )
5133, 50seqfveq 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) )
5226, 51jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) ) )
53 f1oeq1 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  F :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
54 fveq1 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
5554csbeq1d 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
56 fvex 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
57 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k C
58 fsum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
5956, 57, 58csbief 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  C
6055, 59syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  C )
6160mpteq2dv 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  C ) )
6261seqeq3d 11251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) )
6362fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `
 M ) )
6463eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  M
)  <->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) ) )
6553, 64anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) )  <->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) ) ) )
6665spcegv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  (
( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) )  ->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
6731, 52, 66sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
68 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
69 f1oeq2 5599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... M )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
71 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  M ) )
7271eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  m
)  <->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
7370, 72anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7473exbidv 1633 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7574rspcev 2988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  E. f ( f : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7625, 67, 75syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7776olcd 383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
78 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  (  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )
7978anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
) ) )
8079rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
) ) )
81 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
8281anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8382exbidv 1633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8483rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8580, 84orbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
8685moi2 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  e.  _V  /\  E* x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)
872, 86mpanl1 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)
8887ancom2s 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)
8988expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  M )
)  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M ) ) )
9024, 77, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M ) ) )
9177, 85syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
9290, 91impbid 184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )
9392adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )
9493iota5 5371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) )
952, 94mpan2 653 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) )
961, 95syl5eq 2424 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E*wmo 2232   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892   [_csb 3187    C_ wss 3256   ifcif 3675   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   iotacio 5349   -->wf 5383   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919   NNcn 9925   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968    seq cseq 11243    ~~> cli 12198   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  sumz  12436  fsumf1o  12437  fsumcl2lem  12445  fsumadd  12452  sumsn  12454  fsummulc2  12487  fsumconst  12493  fsumrelem  12506  gsumfsum  16682  sumsnd  27358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400
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