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Theorem fsum0diag2 12571
Description: Two ways to express "the sum of  A ( j ,  k ) over the triangular region  0  <_  j, 
0  <_  k,  j  +  k  <_  N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum0diag2.1  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
fsum0diag2.2  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
fsum0diag2.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum0diag2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k    B, k    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( j, k)    B( x, j)    C( j, k)

Proof of Theorem fsum0diag2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznn0sub2 11091 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  (
( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
21ad2antll 711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  -> 
( ( N  -  j )  -  n
)  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )
3 fsum0diag2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
43expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )  ->  A  e.  CC )
)
54ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
6 fsum0diag2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
76eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
87cbvralv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  <->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
95, 8sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
109adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC )
11 nfcsb1v 3285 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B
1211nfel1 2584 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC
13 csbeq1a 3261 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
1413eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
1512, 14rspc 3048 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
162, 10, 15sylc 59 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC )
1716fsum0diag 12566 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
18 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ B
1918nfel1 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ k  /  x ]_ B  e.  CC
20 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
2120eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
2219, 21rspc 3048 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
239, 22mpan9 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC )
24 csbeq1 3256 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B )
2523, 24fsumrev2 12570 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B
)
26 elfz3nn0 11089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
2726ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  N  e.  NN0 )
28 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
2928ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
30 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
31 zcn 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  CC )
32 subcl 9310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3330, 31, 32syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3427, 29, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  ( N  -  j )  e.  CC )
35 addid2 9254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  j )  e.  CC  ->  (
0  +  ( N  -  j ) )  =  ( N  -  j ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
0  +  ( N  -  j ) )  =  ( N  -  j ) )
3736oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
3837csbeq1d 3259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
3938sumeq2dv 12502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4025, 39eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4140sumeq2dv 12502 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
42 elfz3nn0 11089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
4342adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
44 addid2 9254 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  N )  =  N )
4543, 30, 443syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
4645oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( 0  +  N
)  -  n )  =  ( N  -  n ) )
4746oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) )  =  ( 0 ... ( N  -  n )
) )
4846oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
4948adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
5042ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  N  e.  NN0 )
51 elfzelz 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
5251ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  n  e.  ZZ )
53 elfzelz 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  n
) )  ->  j  e.  ZZ )
5453adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  j  e.  ZZ )
55 zcn 10292 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
56 sub32 9340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5730, 55, 31, 56syl3an 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5850, 52, 54, 57syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5949, 58eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6059csbeq1d 3259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6147, 60sumeq12rdv 12506 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B )
6261sumeq2dv 12502 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6317, 41, 623eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
64 fzfid 11317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  e. 
Fin )
65 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
6665adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
67 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6867adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6968adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
70 elfzuzb 11058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7166, 69, 70sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( j ... N
) )
72 elfzelz 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  ZZ )
7372adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ZZ )
74 elfzel2 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
7574ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ZZ )
76 elfzelz 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
7776ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ZZ )
78 fzsubel 11093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( j ... N )  <-> 
( k  -  j
)  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j ) ) ) )
7973, 75, 77, 73, 78syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j )
) ) )
8071, 79mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j
) ) )
81 subid 9326 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8273, 31, 813syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8382oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( j  -  j
) ... ( N  -  j ) )  =  ( 0 ... ( N  -  j )
) )
8480, 83eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
85 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ph )
86 fzss2 11097 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( 0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
8768, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
8887sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
8985, 88, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
90 nfcsb1v 3285 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B
9190nfel1 2584 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B  e.  CC
92 csbeq1a 3261 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B )
9392eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
9491, 93rspc 3048 . . . . . 6  |-  ( ( k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
9584, 89, 94sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
9664, 95fsumcl 12532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
97 oveq2 6092 . . . . 5  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
0 ... k )  =  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) )
98 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
k  -  j )  =  ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j ) )
9998csbeq1d 3259 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
10099adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B
)
10197, 100sumeq12dv 12505 . . . 4  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B )
10296, 101fsumrev2 12570 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N )
sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
10363, 102eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B )
104 vex 2961 . . . . . 6  |-  k  e. 
_V
105 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x A
106104, 105, 6csbief 3294 . . . . 5  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  A
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  =  A
)
108107sumeq2dv 12502 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A )
109108sumeq2i 12498 . 2  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A
110 ovex 6109 . . . . . 6  |-  ( k  -  j )  e. 
_V
111 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x C
112 fsum0diag2.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
113110, 111, 112csbief 3294 . . . . 5  |-  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  =  C
114113a1i 11 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  C
)
115114sumeq2dv 12502 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
116115sumeq2i 12498 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C
117103, 109, 1163eqtr3g 2493 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [_csb 3253    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   sum_csu 12484
This theorem is referenced by:  mertens  12668  plymullem1  20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485
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