MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum1p Unicode version

Theorem fsum1p 12459
Description: Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsum1p.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fsum1p  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( B  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fsum1p
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzel2 10418 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 fzsn 11019 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
65ineq1d 3477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
73zred 10300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
87ltp1d 9866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
9 fzdisj 11003 . . . . 5  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( M ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
116, 10eqtr3d 2414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { M }  i^i  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  =  (/) )
12 eluzfz1 10989 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
131, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
14 fzsplit 11002 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... M )  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
165uneq1d 3436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  ( { M }  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
1715, 16eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( { M }  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
18 fzfid 11232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
19 fsumm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2011, 17, 18, 19fsumsplit 12453 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  { M } A  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) )
2119ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
22 fsum1p.3 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2322eleq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
2423rspcv 2984 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
2513, 21, 24sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2622sumsn 12454 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
273, 25, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
2827oveq1d 6028 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { M } A  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  =  ( B  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
2920, 28eqtrd 2412 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( B  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    u. cun 3254    i^i cin 3255   (/)c0 3564   {csn 3750   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  fsumtscopo  12501  fsumparts  12505  arisum2  12560  ovolicc2lem4  19276  advlogexp  20406  ftalem5  20719  rplogsumlem2  21039  axlowdimlem16  25603  bpolydiflem  25807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator