MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Unicode version

Theorem fsum2cn 18903
Description: Version of fsumcn 18902 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2cn.7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
fsum2cn.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsum2cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, J, x, y    k, L    ph, k, x, y    k, K, x, y    k, X, x, y    k, Y, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, k)    L( x, y)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ u sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ v sum_ k  e.  A  B
3 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ x A
4 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
5 nfcsb1v 3285 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
64, 5nfcsb 3287 . . . . 5  |-  F/_ x [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
73, 6nfsum 12487 . . . 4  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
8 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ y A
9 nfcsb1v 3285 . . . . 5  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
108, 9nfsum 12487 . . . 4  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
11 csbeq1a 3261 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
12 csbeq1a 3261 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1311, 12sylan9eq 2490 . . . . 5  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1413sumeq2sdv 12500 . . . 4  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6153 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
16 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
17 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
1816, 17op2ndd 6360 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  v )
1918csbeq1d 3259 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )
2016, 17op1std 6359 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  u )
2120csbeq1d 3259 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2221csbeq2dv 3278 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ v  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2319, 22eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2423sumeq2sdv 12500 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2524mpt2mpt 6167 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2615, 25eqtr4i 2461 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
27 fsumcn.3 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
28 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 fsum2cn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
30 txtopon 17625 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3128, 29, 30syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
32 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ u B
34 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ v B
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6153 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3623mpt2mpt 6167 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3735, 36eqtr4i 2461 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
38 fsum2cn.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
3937, 38syl5eqelr 2523 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K
) )
4027, 31, 32, 39fsumcn 18902 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
4126, 40syl5eqel 2522 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   [_csb 3253   <.cop 3819    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   Fincfn 7111   sum_csu 12481   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290    tX ctx 17594
This theorem is referenced by:  dipcn  22221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
  Copyright terms: Public domain W3C validator