MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Unicode version

Theorem fsum2cn 18375
Description: Version of fsumcn 18374 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2cn.7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
fsum2cn.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsum2cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, J, x, y    k, L    ph, k, x, y    k, K, x, y    k, X, x, y    k, Y, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, k)    L( x, y)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ u sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ v sum_ k  e.  A  B
3 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x A
4 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
5 nfcsb1v 3113 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
64, 5nfcsb 3115 . . . . 5  |-  F/_ x [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
73, 6nfsum 12164 . . . 4  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
8 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ y A
9 nfcsb1v 3113 . . . . 5  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
108, 9nfsum 12164 . . . 4  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
11 csbeq1a 3089 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
12 csbeq1a 3089 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1311, 12sylan9eq 2335 . . . . 5  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1413sumeq2sdv 12177 . . . 4  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 5925 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
16 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
17 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
1816, 17op2ndd 6131 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  v )
1918csbeq1d 3087 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )
2016, 17op1std 6130 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  u )
2120csbeq1d 3087 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2221csbeq2dv 3106 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ v  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2319, 22eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2423sumeq2sdv 12177 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2524mpt2mpt 5939 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2615, 25eqtr4i 2306 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
27 fsumcn.3 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
28 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 fsum2cn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
30 txtopon 17286 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
32 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ u B
34 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ v B
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 5925 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3623mpt2mpt 5939 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3735, 36eqtr4i 2306 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
38 fsum2cn.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
3937, 38syl5eqelr 2368 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K
) )
4027, 31, 32, 39fsumcn 18374 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
4126, 40syl5eqel 2367 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   [_csb 3081   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Fincfn 6863   sum_csu 12158   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  dipcn  21296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator