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Theorem fsum2d 12234
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that  B ( j ) is a function of  j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fsum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum2d  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    j, k,
z, A    B, k,
z    D, j, k    z, C    ph, j, k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . 2  |-  A  C_  A
2 fsum2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 12162 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 3918 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
65sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) D )
74, 6eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
83, 7imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
98imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
10 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 12162 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C
)
12 iuneq1 3918 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1312sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1411, 13eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1510, 14imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1615imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
17 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 12162 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C )
19 iuneq1 3918 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2019sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2118, 20eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2217, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
24 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 12162 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C
)
26 iuneq1 3918 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2726sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
2825, 27eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
2924, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3029imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
31 sum0 12194 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  (/)  D  =  0
32 0iun 3959 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
3332sumeq1i 12171 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  (/)  D
34 sum0 12194 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3531, 33, 343eqtr4ri 2314 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D
3635a1ii 24 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
37 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
42 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ph )
4342, 2syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4542, 44sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4742, 46sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B
) )  ->  C  e.  CC )
48 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
50 biid 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 12233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
5251exp31 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
5352a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
5440, 53syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5554expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5655a2d 23 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
5756adantl 452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 7099 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
592, 58mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
601, 59mpi 16 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905    X. cxp 4687   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumxp  12235  fsumcom2  12237  ovoliunlem1  18861  fsumvma  20452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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