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Theorem fsum2dlem 12233
Description: Lemma for fsum2d 12234- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fsum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
fsum2d.5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
fsum2d.6  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
fsum2d.7  |-  ( ps  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
Assertion
Ref Expression
fsum2dlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    j, k, x, y, z, A    B, k, x, y, z    D, j, k, x, y    x, C, y, z    ph, j,
k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z, j, k)    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fsum2dlem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 fsum2d.7 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
4 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ m sum_ k  e.  B  C
5 nfcsb1v 3113 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ B
6 nfcsb1v 3113 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ C
75, 6nfsum 12164 . . . . . 6  |-  F/_ j sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C
8 csbeq1a 3089 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B )
9 csbeq1a 3089 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  m  /\  k  e.  B )  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C
)
118, 10sumeq12dv 12179 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C )
124, 7, 11cbvsumi 12170 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  { y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ m  e.  {
y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C
13 ssun2 3339 . . . . . . . . 9  |-  { y }  C_  ( x  u.  { y } )
14 fsum2d.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
1513, 14syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { y }  C_  A )
16 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1716snss 3748 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
1815, 17sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
19 fsum2d.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
2019ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  Fin )
21 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ B
2221nfel1 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ B  e.  Fin
23 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  B  =  [_ y  /  j ]_ B )
2423eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  y  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin ) )
2522, 24rspc 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin ) )
2618, 20, 25sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin )
27 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
2827ralrimivva 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC )
29 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ C
3029nfel1 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ C  e.  CC
3121, 30nfral 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
32 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  y  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
3332eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  y  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3423, 33raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3531, 34rspc 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
3618, 28, 35sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3736r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3826, 37fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
39 csbeq1 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ B  =  [_ y  /  j ]_ B )
40 csbeq1 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C )
4140adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  y  /\  k  e.  [_ m  / 
j ]_ B )  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C
)
4239, 41sumeq12dv 12179 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
4342sumsn 12213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
4418, 38, 43syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
45 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ m [_ y  /  j ]_ C
46 nfcsb1v 3113 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
47 csbeq1a 3089 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  [_ y  /  j ]_ C  =  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
4845, 46, 47cbvsumi 12170 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  =  sum_ m  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
49 csbeq1 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ m  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
50 snfi 6941 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
51 xpfi 7128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  e.  Fin )
5250, 26, 51sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B )  e. 
Fin )
53 2ndconst 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) : ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B )
5418, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) : ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B
)
55 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
5655adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) `  z )  =  ( 2nd `  z ) )
5746nfel1 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
5847eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  <->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
)
5957, 58rspc 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  [_ y  / 
j ]_ B  ->  ( A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
6036, 59mpan9 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
6149, 52, 54, 56, 60fsumf1o 12196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
62 elxp 4706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. m E. k
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) ) )
63 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j  z  =  <. m ,  k >.
64 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  m  e.  { y }
6521nfel2 2431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  k  e.  [_ y  /  j ]_ B
6664, 65nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )
6763, 66nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )
6867nfex 1767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j E. k ( z  =  <. m ,  k
>.  /\  ( m  e. 
{ y }  /\  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
69 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )
70 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  <. m ,  k >.  =  <. j ,  k >. )
7170eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
z  =  <. m ,  k >.  <->  z  =  <. j ,  k >.
) )
72 eqtr2 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  j  =  y )
7372, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  B  =  [_ y  /  j ]_ B
)
7473eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  ( k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
7574pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  =  y  /\  k  e.  B
)  <->  ( m  =  y  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) ) )
76 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  { y }  <-> 
m  =  y )
7776anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B )  <->  ( m  =  y  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )
7875, 77syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( m  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
79 equequ1 1648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
m  =  y  <->  j  =  y ) )
8079anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  =  y  /\  k  e.  B
)  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
8178, 80bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
8271, 81anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  j  ->  (
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  ( z  =  <. j ,  k
>.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) ) )
8382exbidv 1612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  j  ->  ( E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) ) )
8468, 69, 83cbvex 1925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) ) )
8562, 84bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. j E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) )
86 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
ph
87 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
( 2nd `  z
)
8887, 29nfcsb 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
8988nfeq2 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
90 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
ph
91 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
9291nfeq2 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
93 fsum2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
9493ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  C )
9532ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
96 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  ( 2nd `  <. j ,  k
>. ) )
97 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
98 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  k  e. 
_V
9997, 98op2nd 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. j ,  k
>. )  =  k
10096, 99syl6req 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
101100ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
102 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
10494, 95, 1033eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
105104expl 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10690, 92, 105exlimd 1803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k ( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10786, 89, 106exlimd 1803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10885, 107syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
109108imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
110109sumeq2dv 12176 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) D  = 
sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C )
11161, 110eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11248, 111syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11344, 112eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11412, 113syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
115114adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
1163, 115oveq12d 5876 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
117 fsum2d.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
118 disjsn 3693 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
119117, 118sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  {
y } )  =  (/) )
120 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  =  ( x  u.  {
y } ) )
121 fsum2d.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
122 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
123121, 14, 122syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin )
12414sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
j  e.  A )
12527anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
12619, 125fsumcl 12206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
127124, 126syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
128119, 120, 123, 127fsumsplit 12212 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )
)
129128adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )
)
130 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  x  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
131 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
132 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  ( 1st `  z )  =  j )
135 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  j  e.  x )
136134, 135eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  x )
137136rexlimiva 2662 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  x  z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
138130, 137sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
139 xp1st 6149 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( 1st `  z )  e.  {
y } )
140138, 139anim12i 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
141 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  <->  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) ) )
142 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i 
{ y } )  <-> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
143140, 141, 1423imtr4i 257 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i  {
y } ) )
144119eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  <->  ( 1st `  z
)  e.  (/) ) )
145 noel 3459 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( 1st `  z )  e.  (/)
146145pm2.21i 123 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  (/)  ->  z  e.  (/) )
147144, 146syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  ->  z  e.  (/) ) )
148143, 147syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  (/) ) )
149148ssrdv 3185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  C_  (/) )
150 ss0 3485 . . . . 5  |-  ( (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  C_  (/) 
->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
151149, 150syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
152 iunxun 3983 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )
153 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( { j }  X.  B )
154 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { m }
155154, 5nfxp 4715 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )
156 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  { j }  =  { m } )
157156, 8xpeq12d 4714 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) )
158153, 155, 157cbviun 3939 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  / 
j ]_ B )
159 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  { m }  =  { y } )
160159, 39xpeq12d 4714 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
16116, 160iunxsn 3981 . . . . . . . 8  |-  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
162158, 161eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
163162uneq2i 3326 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
164152, 163eqtri 2303 . . . . 5  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
165164a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) )
166 snfi 6941 . . . . . . 7  |-  { j }  e.  Fin
167124, 19syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  Fin )
168 xpfi 7128 . . . . . . 7  |-  ( ( { j }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { j }  X.  B )  e.  Fin )
169166, 167, 168sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( { j }  X.  B )  e. 
Fin )
170169ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
171 iunfi 7144 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin  /\  A. j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  e.  Fin )  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
172123, 170, 171syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
173 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B ) )
174 elxp 4706 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  <->  E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { j }  /\  k  e.  B ) ) )
175 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. m ,  k >. )
176 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  e.  {
j } )
177 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  m  =  j )
178176, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  =  j )
179178opeq1d 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  <. m ,  k
>.  =  <. j ,  k >. )
180175, 179eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. j ,  k >. )
181180, 93syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  =  C )
182 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  ph )
183124adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  j  e.  A
)
184 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  k  e.  B
)
185182, 183, 184, 27syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  C  e.  CC )
186181, 185eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  e.  CC )
187186ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
188187exlimdvv 1668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( E. m E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
189174, 188syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
190189rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
191173, 190syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC )
)
192191imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )  ->  D  e.  CC )
193151, 165, 172, 192fsumsplit 12212 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
194193adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
195116, 129, 1943eqtr4d 2325 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   [_csb 3081    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905    X. cxp 4687    |` cres 4691   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Fincfn 6863   CCcc 8735    + caddc 8740   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsum2d  12234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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