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Theorem fsumadd 12520
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumadd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumadd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumadd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 9230 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 sum0 12503 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3 sum0 12503 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
42, 3oveq12i 6084 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )  =  ( 0  +  0 )
5 sum0 12503 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  0
61, 4, 53eqtr4ri 2466 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )
7 sumeq1 12471 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C ) )
8 sumeq1 12471 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
9 sumeq1 12471 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 6090 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
14 nnuz 10510 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1716adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1917, 18fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
21 f1of 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2726adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
30 fco 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3129, 22, 30syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3231ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3322ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 ovex 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3635fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( B  +  C ) )
3734, 36mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
4018fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4139, 16, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4228fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4339, 26, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
4441, 43oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  +  C ) )
4538, 44eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
4645ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
48 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )
49 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
50 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  +
51 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
5249, 50, 51nfov 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
5348, 52nfeq 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
54 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
55 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
56 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5755, 56oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
5854, 57eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
5953, 58rspc 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
6033, 47, 59sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
61 fvco3 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
6222, 61sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
63 fvco3 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6422, 63sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
65 fvco3 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6622, 65sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6764, 66oveq12d 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
6860, 62, 673eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
6915, 25, 32, 68seradd 11353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
70 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
7117, 27addcld 9096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
7271, 35fmptd 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  e.  CC )
7470, 13, 20, 73, 62fsum 12502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
75 fveq2 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7619ffvelrnda 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7775, 13, 20, 76, 64fsum 12502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
78 fveq2 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
7929ffvelrnda 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
8078, 13, 20, 79, 66fsum 12502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8177, 80oveq12d 6090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  +  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
8269, 74, 813eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  ( sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
83 sumfc 12491 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)
84 sumfc 12491 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
85 sumfc 12491 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
8684, 85oveq12i 6084 . . . . . 6  |-  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )
8782, 83, 863eqtr3g 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
8887expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
8988exlimdv 1646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
9089expimpd 587 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
91 fsumadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
92 fz1f1o 12492 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9391, 92syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9412, 90, 93mpjaod 371 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   (/)c0 3620    e. cmpt 4258    o. ccom 4873   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   CCcc 8977   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982   NNcn 9989   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032    seq cseq 11311   #chash 11606   sum_csu 12467
This theorem is referenced by:  fsumsplit  12521  fsumsub  12559  binomlem  12596  pcbc  13257  ovollb2lem  19372  ovoliunlem1  19386  itg1addlem5  19580  itgsplit  19715  plyaddlem1  20120  basellem8  20858  logfaclbnd  20994  dchrvmasum2if  21179  mudivsum  21212  logsqvma  21224  selberglem1  21227  selberglem2  21228  selberg  21230  selberg2  21233  selberg3lem1  21239  selberg4  21243  pntsval2  21258  binomfallfaclem2  25345  ax5seglem9  25824  csbrn  26393  trirn  26394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468
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