MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Unicode version

Theorem fsumcl 12222
Description: Closure of a finite sum of complex numbers  A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumcl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . . 3  |-  CC  C_  CC
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 addcl 8835 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
43adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumcl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
7 0cn 8847 . . 3  |-  0  e.  CC
87a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
92, 4, 5, 6, 8fsumcllem 12221 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  12249  fsum0diag2  12261  fsummulc1  12263  fsumdivc  12264  fsumneg  12265  fsumsub  12266  fsum2mul  12267  fsumabs  12275  fsumtscopo  12276  fsumparts  12280  o1fsum  12287  cvgcmpce  12292  climfsum  12294  fsumiun  12295  binom1dif  12307  incexclem  12311  incexc  12312  isumsplit  12315  arisum2  12335  geoserg  12340  mertenslem1  12356  mertens  12358  eirrlem  12498  pcfac  12963  sylow2a  14946  itg1addlem5  19071  itgcl  19154  dvmptfsum  19338  dvfsumabs  19386  dvfsumlem1  19389  plyf  19596  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coemullem  19647  plycjlem  19673  taylpf  19761  mtest  19797  pserdvlem2  19820  abelthlem6  19828  abelthlem7  19830  advlogexp  20018  log2tlbnd  20257  birthdaylem2  20263  fsumharmonic  20321  ftalem1  20326  ftalem5  20330  sgmf  20399  chtdif  20412  fsumdvdscom  20441  fsumdvdsmul  20451  logexprlim  20480  dchrsum2  20523  sumdchr2  20525  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem1  20654  dchrisumlem2  20655  dchrisum  20657  dchrmusum2  20659  dchrvmasum2if  20662  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmasumiflem2  20667  rpvmasum2  20677  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  dchrmusumlem  20687  dchrvmasumlem  20688  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulogsum  20697  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  mulog2sumlem3  20701  vmalogdivsum  20704  logsqvma  20707  selberglem1  20710  selberglem2  20711  selberg2lem  20715  selberg2  20716  selberg3lem1  20722  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd  20731  selbergr  20733  selberg4r  20735  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntlemo  20772  dipcl  21304  esumcvg  23469  subfacval2  23733  subfaclim  23734  ax5seglem6  24634  axlowdimlem16  24657  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  fsumkthpow  24863  jm2.23  27192  stoweidlem26  27878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator