MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Unicode version

Theorem fsumcl 12527
Description: Closure of a finite sum of complex numbers  A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumcl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3367 . . 3  |-  CC  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 addcl 9072 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
43adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumcl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
7 0cn 9084 . . 3  |-  0  e.  CC
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
92, 4, 5, 6, 8fsumcllem 12526 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  12554  fsum0diag2  12566  fsummulc1  12568  fsumdivc  12569  fsumneg  12570  fsumsub  12571  fsum2mul  12572  fsumabs  12580  fsumtscopo  12581  fsumparts  12585  o1fsum  12592  cvgcmpce  12597  climfsum  12599  fsumiun  12600  binom1dif  12612  incexclem  12616  incexc  12617  isumsplit  12620  arisum2  12640  geoserg  12645  mertenslem1  12661  mertens  12663  eirrlem  12803  pcfac  13268  sylow2a  15253  itg1addlem5  19592  itgcl  19675  dvmptfsum  19859  dvfsumabs  19907  dvfsumlem1  19910  plyf  20117  plymullem1  20133  coeeulem  20143  coemullem  20168  plycjlem  20194  taylpf  20282  mtest  20320  mtestbdd  20321  pserdvlem2  20344  abelthlem6  20352  abelthlem7  20354  advlogexp  20546  log2tlbnd  20785  birthdaylem2  20791  fsumharmonic  20850  ftalem1  20855  ftalem5  20859  sgmf  20928  chtdif  20941  fsumdvdscom  20970  fsumdvdsmul  20980  logexprlim  21009  dchrsum2  21052  sumdchr2  21054  rpvmasumlem  21181  dchrisumlem1  21183  dchrisumlem2  21184  dchrisum  21186  dchrmusum2  21188  dchrvmasum2if  21191  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmasumiflem2  21196  rpvmasum2  21206  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  dchrisum0lem2  21212  dchrisum0lem3  21213  dchrmusumlem  21216  dchrvmasumlem  21217  mudivsum  21224  mulogsumlem  21225  mulogsum  21226  mulog2sumlem1  21228  mulog2sumlem2  21229  mulog2sumlem3  21230  vmalogdivsum  21233  logsqvma  21236  selberglem1  21239  selberglem2  21240  selberg2lem  21244  selberg2  21245  selberg3lem1  21251  pntrsumo1  21259  pntrsumbnd  21260  selbergr  21262  selberg4r  21264  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pntlemo  21301  dipcl  22211  esumcvg  24476  lgamcvg2  24839  subfacval2  24873  subfaclim  24874  fprodefsum  25298  binomfallfaclem2  25356  ax5seglem6  25873  axlowdimlem16  25896  bpolycl  26098  bpolysum  26099  bpolydiflem  26100  fsumkthpow  26102  jm2.23  27067  stoweidlem26  27751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator