Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcn Structured version   Unicode version

Theorem fsumcn 18902
 Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for normally contains free variables and to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 fld
fsumcn.4 TopOn
fsumcn.5
fsumcn.6
Assertion
Ref Expression
fsumcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2
2 fsumcn.5 . . 3
3 sseq1 3371 . . . . . 6
4 sumeq1 12485 . . . . . . . 8
54mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
65eleq1d 2504 . . . . . 6
73, 6imbi12d 313 . . . . 5
87imbi2d 309 . . . 4
9 sseq1 3371 . . . . . 6
10 sumeq1 12485 . . . . . . . 8
1110mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
1211eleq1d 2504 . . . . . 6
139, 12imbi12d 313 . . . . 5
1413imbi2d 309 . . . 4
15 sseq1 3371 . . . . . 6
16 sumeq1 12485 . . . . . . . 8
1716mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
1817eleq1d 2504 . . . . . 6
1915, 18imbi12d 313 . . . . 5
2019imbi2d 309 . . . 4
21 sseq1 3371 . . . . . 6
22 sumeq1 12485 . . . . . . . 8
2322mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
2423eleq1d 2504 . . . . . 6
2521, 24imbi12d 313 . . . . 5
2625imbi2d 309 . . . 4
27 sum0 12517 . . . . . . 7
2827mpteq2i 4294 . . . . . 6
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 TopOn
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 fld
3130cnfldtopon 18819 . . . . . . . 8 TopOn
3231a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
33 0cn 9086 . . . . . . . 8
3433a1i 11 . . . . . . 7
3529, 32, 34cnmptc 17696 . . . . . 6
3628, 35syl5eqel 2522 . . . . 5
3736a1d 24 . . . 4
38 ssun1 3512 . . . . . . . . . 10
39 sstr 3358 . . . . . . . . . 10
4038, 39mpan 653 . . . . . . . . 9
4140imim1i 57 . . . . . . . 8
42 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4442, 43sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
462ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4946, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5147sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5329adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn
5431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn
55 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 cnf2 17315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn TopOn
5753, 54, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5958fmpt 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6057, 59sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6450, 51, 52, 63syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6544, 45, 49, 64fsumsplit 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6766unssbd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
68 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6968snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7067, 69sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7262impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7372ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7473ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7675nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7976, 78rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8071, 74, 79sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 sumsns 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8271, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8465, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . 14
8685mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . . . 13
8786adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12
88 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
89 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15
9189, 90nfsum 12487 . . . . . . . . . . . . . 14
92 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
93 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493, 90nfcsb 3287 . . . . . . . . . . . . . 14
9591, 92, 94nfov 6106 . . . . . . . . . . . . 13
96 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796sumeq2sdv 12500 . . . . . . . . . . . . . 14
9896csbeq2dv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 98oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13
10088, 95, 99cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . 12
10187, 100syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11
10229ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
103 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
104103, 91, 97cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . . 13
105 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13
106104, 105syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . 12
107 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
108107, 94, 98cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . . 13
10970adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14
11055ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
112 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112, 75nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15
11577mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15
117114, 116rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . 14
118109, 111, 117sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
119108, 118syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . 12
12030addcn 18897 . . . . . . . . . . . . 13
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
122102, 106, 119, 121cnmpt12f 17700 . . . . . . . . . . 11
123101, 122eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10
124123exp32 590 . . . . . . . . 9
125124a2d 25 . . . . . . . 8
12641, 125syl5 31 . . . . . . 7
127126expcom 426 . . . . . 6
128127adantl 454 . . . . 5
129128a2d 25 . . . 4
1308, 14, 20, 26, 37, 129findcard2s 7351 . . 3
1312, 130mpcom 35 . 2
1321, 131mpi 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  csb 3253   cun 3320   cin 3321   wss 3322  c0 3630  csn 3816   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990  cc0 8992   caddc 8995  csu 12481  ctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961   ccn 17290   ctx 17594 This theorem is referenced by:  fsum2cn  18903  lebnumlem2  18989  plycn  20181  psercn2  20341  fsumcnf  27670 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
 Copyright terms: Public domain W3C validator