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Theorem fsumcn 18902
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
65eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
73, 6imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
87imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
9 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
10 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1110mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
1211eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
139, 12imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1413imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
15 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
16 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1716mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1915, 18imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
2019imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
21 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
22 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2322mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
2423eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
2521, 24imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
2625imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B
)  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
27 sum0 12517 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2827mpteq2i 4294 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
29 fsumcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3130cnfldtopon 18819 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
33 0cn 9086 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
3529, 32, 34cnmptc 17696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
3628, 35syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
3736a1d 24 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
38 ssun1 3512 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
39 sstr 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
y  C_  A )
4038, 39mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
4140imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
42 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  -.  z  e.  y
)
43 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4442, 43sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
45 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
462ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  Fin )
47 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
48 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4946, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
50 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
5147sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
52 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
5329adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
55 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
56 cnf2 17315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
5958fmpt 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
6057, 59sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
61 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
6362imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
6450, 51, 52, 63syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
6544, 45, 49, 64fsumsplit 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
66 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
6766unssbd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  { z }  C_  A )
68 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
6968snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
7067, 69sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  z  e.  A )
7170adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
7262impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
7372ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7473ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
75 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7675nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
77 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
7877eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
7976, 78rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
8071, 74, 79sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
81 sumsns 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
8271, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
)
8382oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
)  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
8465, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8584anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8685mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
8786adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
88 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
89 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
90 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
9189, 90nfsum 12487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
92 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
93 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
z
9493, 90nfcsb 3287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
9591, 92, 94nfov 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
96 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
9796sumeq2sdv 12500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
9896csbeq2dv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
9997, 98oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
10088, 95, 99cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
10187, 100syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
10229ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
103 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
104103, 91, 97cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
105 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )
106104, 105syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K
) )
107 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
108107, 94, 98cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
10970adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  z  e.  A )
11055ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
111110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
112 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k X
113112, 75nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
114113nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
11577mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
116115eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
117114, 116rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
118109, 111, 117sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
119108, 118syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
12030addcn 18897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
122102, 106, 119, 121cnmpt12f 17700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
123101, 122eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) )
124123exp32 590 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
125124a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
12641, 125syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
127126expcom 426 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
128127adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
129128a2d 25 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
1308, 14, 20, 26, 37, 129findcard2s 7351 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1312, 130mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1321, 131mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [_csb 3253    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   0cc0 8992    + caddc 8995   sum_csu 12481   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290    tX ctx 17594
This theorem is referenced by:  fsum2cn  18903  lebnumlem2  18989  plycn  20181  psercn2  20341  fsumcnf  27670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
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