Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumcnf Unicode version

Theorem fsumcnf 26840
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous, without disjoint var constraint x ph. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcnf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcnf.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcnf.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcnf.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcnf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, J    k, K    k, X, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x, k)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem fsumcnf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2452 . . 3  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2452 . . . 4  |-  F/_ x A
3 nfcsb1v 3147 . . . 4  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
42, 3nfsum 12211 . . 3  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
5 nfv 1610 . . . . 5  |-  F/ k  x  =  y
6 csbeq1a 3123 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
76a1d 22 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  A  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B ) )
85, 7ralrimi 2658 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  A. k  e.  A  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
98sumeq2d 12222 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
)
101, 4, 9cbvmpt 4147 . 2  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( y  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
11 fsumcnf.1 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
12 fsumcnf.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 fsumcnf.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
14 nfcv 2452 . . . . 5  |-  F/_ y B
1514, 3, 6cbvmpt 4147 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( y  e.  X  |->  [_ y  /  x ]_ B )
16 fsumcnf.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
1715, 16syl5eqelr 2401 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
y  e.  X  |->  [_ y  /  x ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
1811, 12, 13, 17fsumcn 18426 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
1910, 18syl5eqel 2400 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   [_csb 3115    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   sum_csu 12205   TopOpenctopn 13375  ℂfldccnfld 16432  TopOnctopon 16688    Cn ccn 17010
This theorem is referenced by:  refsumcn  26849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939
  Copyright terms: Public domain W3C validator