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Theorem fsumcom2 12558
Description: Interchange order of summation. Note that  B ( j ) and 
D ( k ) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcom2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcom2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumcom2.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumcom2.4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) )
fsumcom2.5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  E  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumcom2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  E  =  sum_ k  e.  C  sum_ j  e.  D  E
)
Distinct variable groups:    j, k, A    C, j, k    ph, j,
k    B, k    D, j
Allowed substitution hints:    B( j)    D( k)    E( j, k)

Proof of Theorem fsumcom2
Dummy variables  m  n  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4983 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( { j }  X.  B )
21rgenw 2773 . . . . . . . 8  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  B
)
3 reliun 4995 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  B
) )
42, 3mpbir 201 . . . . . . 7  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
5 relcnv 5242 . . . . . . 7  |-  Rel  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )
6 ancom 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  j  /\  y  =  k )  <->  ( y  =  k  /\  x  =  j )
)
7 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
8 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>. 
<->  ( x  =  j  /\  y  =  k ) )
108, 7opth 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.  <->  ( y  =  k  /\  x  =  j )
)
116, 9, 103bitr4i 269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>. 
<-> 
<. y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.
)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  =  <. j ,  k >.  <->  <. y ,  x >.  =  <. k ,  j
>. ) )
13 fsumcom2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) )
1412, 13anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
)  <->  ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) ) )
15142exbidv 1638 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
)  <->  E. j E. k
( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j
>.  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) ) )
16 eliunxp 5012 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
177, 8opelcnv 5054 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  <. y ,  x >.  e.  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
) )
18 eliunxp 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. k E. j ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
19 excom 1756 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k E. j (
<. y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  D
) )  <->  E. j E. k ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
2017, 18, 193bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. j E. k ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
2115, 16, 203bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) ) )
224, 5, 21eqrelrdv 4972 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  =  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
23 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ m
( { j }  X.  B )
24 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
25 nfcsb1v 3283 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ B
2624, 25nfxp 4904 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )
27 sneq 3825 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  { j }  =  { m } )
28 csbeq1a 3259 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B )
2927, 28xpeq12d 4903 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) )
3023, 26, 29cbviun 4128 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ m  e.  A  ( {
m }  X.  [_ m  /  j ]_ B
)
31 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( { k }  X.  D )
32 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k { n }
33 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ D
3432, 33nfxp 4904 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
35 sneq 3825 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  { k }  =  { n } )
36 csbeq1a 3259 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  D  =  [_ n  /  k ]_ D )
3735, 36xpeq12d 4903 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( { k }  X.  D )  =  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
3831, 34, 37cbviun 4128 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
)  =  U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
)
3938cnveqi 5047 . . . . . 6  |-  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  =  `' U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
4022, 30, 393eqtr3g 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  `' U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
4140sumeq1d 12495 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  U_  m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E  =  sum_ z  e.  `'  U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E )
42 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  n  e. 
_V
43 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  m  e. 
_V
4442, 43op1std 6357 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  ( 1st `  w
)  =  n )
4544csbeq1d 3257 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E )
4642, 43op2ndd 6358 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  m )
4746csbeq1d 3257 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ m  / 
j ]_ E )
4847csbeq2dv 3276 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ n  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
4945, 48eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
5043, 42op2ndd 6358 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  ( 2nd `  z
)  =  n )
5150csbeq1d 3257 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E )
5243, 42op1std 6357 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  ( 1st `  z
)  =  m )
5352csbeq1d 3257 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ m  / 
j ]_ E )
5453csbeq2dv 3276 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ n  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
5551, 54eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
56 fsumcom2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
57 snfi 7187 . . . . . . . 8  |-  { n }  e.  Fin
58 fsumcom2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5958adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A  e.  Fin )
6033nfcri 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  m  e.  [_ n  /  k ]_ D
61 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
62 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  k  e. 
_V
6362snid 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  k  e. 
{ k }
6461, 63syl6eqelr 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  n  e.  { k } )
6564biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (
m  e.  D  <->  ( n  e.  { k }  /\  m  e.  D )
) )
66 opelxp 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  ( n  e.  { k }  /\  m  e.  D )
)
6765, 66syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  m  e.  D ) )
6836eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
m  e.  D  <->  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )
6967, 68bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )
7060, 69rspce 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  E. k  e.  C  <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D ) )
71 eliun 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. k  e.  C  <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D ) )
7270, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  <. n ,  m >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7343, 42opelcnv 5054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  <. n ,  m >.  e.  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
) )
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  <. m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  <. m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7622adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  =  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7775, 76eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  <. m ,  n >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
78 eliun 4097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
m ,  n >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
7977, 78sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
80 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
81 opelxp 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  ( m  e.  { j }  /\  n  e.  B )
)
8280, 81sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( m  e. 
{ j }  /\  n  e.  B )
)
8382simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  e.  {
j } )
84 elsni 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  m  =  j )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  =  j )
86 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  j  e.  A
)
8785, 86eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  e.  A
)
8887rexlimiva 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  m  e.  A )
8979, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  m  e.  A )
9089expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
m  e.  [_ n  /  k ]_ D  ->  m  e.  A ) )
9190ssrdv 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ n  /  k ]_ D  C_  A )
92 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  [_ n  /  k ]_ D  C_  A )  ->  [_ n  /  k ]_ D  e.  Fin )
9359, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ n  /  k ]_ D  e.  Fin )
94 xpfi 7378 . . . . . . . 8  |-  ( ( { n }  e.  Fin  /\  [_ n  / 
k ]_ D  e.  Fin )  ->  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  e. 
Fin )
9557, 93, 94sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
9695ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
97 iunfi 7394 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  A. n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )  ->  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
9856, 96, 97syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
99 reliun 4995 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  <->  A. n  e.  C  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )
100 relxp 4983 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  C  ->  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
10299, 101mprgbir 2776 . . . . . 6  |-  Rel  U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
)
103102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Rel  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
104 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) )
105 eliun 4097 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  <->  E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
106104, 105sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  E. n  e.  C  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )
107 xp2nd 6377 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ n  /  k ]_ D
)
108107adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ n  /  k ]_ D )
109 xp1st 6376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 1st `  w
)  e.  { n } )
110109adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  e. 
{ n } )
111 elsni 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  e.  { n }  ->  ( 1st `  w
)  =  n )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  =  n )
113112csbeq1d 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D  =  [_ n  /  k ]_ D
)
114108, 113eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ D )
115114rexlimiva 2825 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D )
116106, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D )
117 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  n  e.  C )
118112, 117eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  C )
119118rexlimiva 2825 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 1st `  w
)  e.  C )
120106, 119syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  -> 
( 1st `  w
)  e.  C )
121 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  ph )
12225nfcri 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  n  e.  [_ m  /  j ]_ B
12384eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { j }  ->  j  =  m )
124123, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  { j }  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B
)
125124eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  ( n  e.  B  <->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B
) )
126125biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  { j }  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B )
12781, 126sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  ( <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B ) )
129122, 128rexlimi 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B )
13079, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B )
131 fsumcom2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  E  e.  CC )
132131ralrimivva 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  B  E  e.  CC )
133 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ E
134133nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j
[_ m  /  j ]_ E  e.  CC
13525, 134nfral 2759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC
136 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  E  =  [_ m  /  j ]_ E )
137136eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  m  ->  ( E  e.  CC  <->  [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC ) )
13828, 137raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  B  E  e.  CC  <->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC ) )
139135, 138rspc 3046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. k  e.  B  E  e.  CC  ->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
140132, 139mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC )
141 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
142141nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC
143 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  [_ m  /  j ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
144143eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
145142, 144rspc 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  [_ m  / 
j ]_ B  ->  ( A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
146140, 145syl5com 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
n  e.  [_ m  /  j ]_ B  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
147146impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  [_ m  /  j ]_ B ) )  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
148121, 89, 130, 147syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
149148ralrimivva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
150149adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
151 csbeq1 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  [_ n  / 
k ]_ D  =  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ D
)
152 csbeq1 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E  =  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
153152eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  ( [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
154151, 153raleqbidv 2916 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  ( A. m  e.  [_  n  / 
k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
155154rspcv 3048 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  w )  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
156120, 150, 155sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  / 
k ]_ D [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC )
157 csbeq1 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  [_ m  / 
j ]_ E  =  [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E
)
158157csbeq2dv 3276 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E )
159158eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  ( [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
)
160159rspcv 3048 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ D  ->  ( A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
)
161116, 156, 160sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
16249, 55, 98, 103, 161fsumcnv 12557 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ w  e.  U_  n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  sum_ z  e.  `'  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E )
16341, 162eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  U_  m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E  =  sum_ w  e.  U_  n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w )  / 
j ]_ E )
164 fsumcom2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
165164ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  Fin )
16625nfel1 2582 . . . . . 6  |-  F/ j
[_ m  /  j ]_ B  e.  Fin
16728eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ m  / 
j ]_ B  e.  Fin ) )
168166, 167rspc 3046 . . . . 5  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ m  /  j ]_ B  e.  Fin ) )
169165, 168mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  j ]_ B  e.  Fin )
17055, 58, 169, 147fsum2d 12555 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ n  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  sum_ z  e.  U_  m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  / 
j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ ( 1st `  z )  / 
j ]_ E )
17149, 56, 93, 148fsum2d 12555 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  C  sum_ m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  sum_ w  e.  U_  n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w )  / 
j ]_ E )
172163, 170, 1713eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ n  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  sum_ n  e.  C  sum_ m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
173 nfcv 2572 . . 3  |-  F/_ m sum_ k  e.  B  E
174 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ j
n
175174, 133nfcsb 3285 . . . 4  |-  F/_ j [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
17625, 175nfsum 12485 . . 3  |-  F/_ j sum_ n  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
177 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ n E
178 nfcsb1v 3283 . . . . 5  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ E
179 csbeq1a 3259 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  E  =  [_ n  /  k ]_ E )
180177, 178, 179cbvsumi 12491 . . . 4  |-  sum_ k  e.  B  E  =  sum_ n  e.  B  [_ n  /  k ]_ E
181136csbeq2dv 3276 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  [_ n  /  k ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
182181adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( j  =  m  /\  n  e.  B )  ->  [_ n  /  k ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
18328, 182sumeq12dv 12500 . . . 4  |-  ( j  =  m  ->  sum_ n  e.  B  [_ n  / 
k ]_ E  =  sum_ n  e.  [_  m  / 
j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
184180, 183syl5eq 2480 . . 3  |-  ( j  =  m  ->  sum_ k  e.  B  E  =  sum_ n  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
185173, 176, 184cbvsumi 12491 . 2  |-  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  E  =  sum_ m  e.  A  sum_ n  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E
186 nfcv 2572 . . 3  |-  F/_ n sum_ j  e.  D  E
18733, 141nfsum 12485 . . 3  |-  F/_ k sum_ m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
188 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ m E
189188, 133, 136cbvsumi 12491 . . . 4  |-  sum_ j  e.  D  E  =  sum_ m  e.  D  [_ m  /  j ]_ E
190143adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  D )  ->  [_ m  /  j ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
19136, 190sumeq12dv 12500 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  D  [_ m  / 
j ]_ E  =  sum_ m  e.  [_  n  / 
k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
192189, 191syl5eq 2480 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  sum_ j  e.  D  E  =  sum_ m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
193186, 187, 192cbvsumi 12491 . 2  |-  sum_ k  e.  C  sum_ j  e.  D  E  =  sum_ n  e.  C  sum_ m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E
194172, 185, 1933eqtr4g 2493 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  E  =  sum_ k  e.  C  sum_ j  e.  D  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3251    C_ wss 3320   {csn 3814   <.cop 3817   U_ciun 4093    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   Rel wrel 4883   ` cfv 5454   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Fincfn 7109   CCcc 8988   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  fsumcom  12559  fsum0diag  12561  fsumdvdsdiag  20969  dvdsflsumcom  20973  fsumfldivdiag  20975  logfac2  21001  chpchtsum  21003  logfaclbnd  21006  dchrisum0lem1  21210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
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