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Theorem fsumcube 24795
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Distinct variable group:    T, k

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 fsumkthpow 24791 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  T  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T ) ( k ^ 3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )  /  ( 3  +  1 ) ) )
31, 2mpan 651 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly 
0 ) )  / 
( 3  +  1 ) ) )
4 df-4 9806 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
54oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )
64oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 )
75, 6oveq12i 5870 . . . 4  |-  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1
) )  -  (
( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )
87, 4oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )
9 nn0cn 9975 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  NN0  ->  T  e.  CC )
10 peano2cn 8984 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
12 bpoly4 24794 . . . . . . 7  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
14 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
15 0exp 11137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
0 ^ 4 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ^ 4 )  =  0
17 3nn 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
18 0exp 11137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2019oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  0 )
21 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
2221mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
2320, 22eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  0
2416, 23oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  ( 0  -  0 )
25 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
2625subid1i 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  0 )  =  0
2724, 26eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  0
28 sq0 11195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
2927, 28oveq12i 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 0  +  0 )
30 00id 8987 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
3129, 30eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  0
3231oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  (
2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( 0  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
33 bpoly4 24794 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
3425, 33ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
35 df-neg 9040 . . . . . . . 8  |-  -u (
1  / ; 3 0 )  =  ( 0  -  (
1  / ; 3 0 ) )
3632, 34, 353eqtr4i 2313 . . . . . . 7  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 )
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 ) )
3813, 37oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u (
1  / ; 3 0 ) ) )
39 4nn0 9984 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
40 expcl 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC )
4139, 40mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
42 expcl 11121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )
431, 42mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 3 )  e.  CC )
44 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4521, 43, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
46 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  e.  CC )
4741, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  e.  CC )
48 sqcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
49 addcl 8819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
5110, 50syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
529, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC )
53 0nn0 9980 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
541, 53deccl 10138 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  NN0
5554nn0cni 9977 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  e.  CC
5654nn0rei 9976 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  RR
57 10pos 9838 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  10
5817, 53, 53, 57declti 10149 . . . . . . . . 9  |-  0  < ; 3
0
5956, 58gt0ne0ii 9309 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  =/=  0
6055, 59reccli 9490 . . . . . . 7  |-  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC
61 subcl 9051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
6252, 60, 61sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
63 subneg 9096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  e.  CC  /\  (
1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
6462, 60, 63sylancl 643 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
65 npcan 9060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6651, 60, 65sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
679, 66syl 15 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
68 2p2e4 9842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  2 )  =  4
6968eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 2  +  2 )
7069oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )
71 df-3 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7271oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 3 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  1 ) )
7372oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) )  =  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )
7470, 73oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )
7574oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )
76 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
77 expadd 11144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
7876, 76, 77mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
79 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
80 expadd 11144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8176, 79, 80mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
8378, 82oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8410, 83syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8510, 48syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
86 mulid1 8835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8887eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
8984, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
90 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
9110, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) )  =  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )
9392oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9591, 10eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  e.  CC )
96 mul12 8978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9721, 96mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9885, 95, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
9998oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
100 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( T  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
10121, 10, 100sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
102 subdi 9213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10385, 85, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10494, 99, 1033eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
105104oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
106 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )
10785, 101, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  e.  CC )
108 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
109 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
110108, 109mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
11185, 107, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
112105, 111eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) ) )
113 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
11421, 108, 113mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
11521mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
116115oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 )
117114, 116syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 ) )
118117oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  T )  +  2 )  - 
1 ) )
119 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 2  x.  T
)  e.  CC )
12021, 119mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  T )  e.  CC )
121 addsubass 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
12221, 108, 121mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
123120, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
124 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
12521, 108, 108, 124subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  1 )  =  1
126125oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 )
127123, 126syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
128118, 127eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
130 subsub 9077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )
131108, 130mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
13285, 101, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
133 binom21 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 ) )
134 sqcl 11166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
135 addass 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T
) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
136108, 135mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
137134, 120, 136syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
138133, 137eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
139138oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
140 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
141120, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
142 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  T )  +  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^ 2 ) )
143134, 141, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( ( 2  x.  T
)  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
144139, 143eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
145129, 132, 1443eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 )  =  ( T ^
2 ) )
146145oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) ) )
147 mulcom 8823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( T ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
14885, 134, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
149112, 146, 1483eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
15089, 149eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
1519, 150syl 15 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
15275, 151syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
15367, 152eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
15438, 64, 1533eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
155154oveq1d 5873 . . 3  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1568, 155syl5eqr 2329 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1573, 156eqtrd 2315 1  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965  ;cdc 10124   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158   BernPoly cbp 24781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-pred 24168  df-bpoly 24782
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