MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Unicode version

Theorem fsumcvg2 12513
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
2 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
3 nfcsb1v 3275 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
4 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3755 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 )
6 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
7 csbeq1a 3251 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
8 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3753 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4291 . . 3  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
11 fsumsers.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1211ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
133nfel1 2581 . . . . 5  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
147eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1513, 14rspc 3038 . . . 4  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1612, 15mpan9 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
17 fsumsers.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
18 fsumsers.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1910, 16, 17, 18fsumcvg 12498 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  M
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
20 eluzel2 10485 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2117, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
22 fsumsers.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
23 eluzelz 10488 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
24 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2524adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2625, 11eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2726ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
28 iffalse 3738 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 0cn 9076 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
3028, 29syl6eqel 2523 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
3127, 30pm2.61d1 153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
32 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3332fvmpt2 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
3423, 31, 33syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3522, 34eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
3635ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
37 nffvmpt1 5728 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 n )
3837nfeq2 2582 . . . . 5  |-  F/ k ( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n )
39 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
40 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4139, 40eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  <-> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4238, 41rspc 3038 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4336, 42mpan9 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4421, 43seqfeq 11340 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  =  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4544fveq1d 5722 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
4619, 44, 453brtr4d 4234 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    + caddc 8985   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    seq cseq 11315    ~~> cli 12270
This theorem is referenced by:  fsumsers  12514  fsumcvg3  12515  ef0lem  12673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274
  Copyright terms: Public domain W3C validator