MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Unicode version

Theorem fsumcvg2 12450
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2525 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
2 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
3 nfcsb1v 3228 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
4 nfcv 2525 . . . . 5  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3708 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 )
6 eleq1 2449 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
7 csbeq1a 3204 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
8 eqidd 2390 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3706 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4242 . . 3  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
11 fsumsers.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1211ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
133nfel1 2535 . . . . 5  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
147eleq1d 2455 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1513, 14rspc 2991 . . . 4  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1612, 15mpan9 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
17 fsumsers.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
18 fsumsers.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1910, 16, 17, 18fsumcvg 12435 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  M
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
20 eluzel2 10427 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2117, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
22 fsumsers.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
23 eluzelz 10430 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
24 iftrue 3690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2524adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2625, 11eqeltrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2726ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
28 iffalse 3691 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 0cn 9019 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
3028, 29syl6eqel 2477 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
3127, 30pm2.61d1 153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
32 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3332fvmpt2 5753 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
3423, 31, 33syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3522, 34eqtr4d 2424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
3635ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
37 nffvmpt1 5678 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 n )
3837nfeq2 2536 . . . . 5  |-  F/ k ( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n )
39 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
40 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4139, 40eqeq12d 2403 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  <-> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4238, 41rspc 2991 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4336, 42mpan9 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4421, 43seqfeq 11277 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  =  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4544fveq1d 5672 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
4619, 44, 453brtr4d 4185 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   [_csb 3196    C_ wss 3265   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925    + caddc 8928   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977    seq cseq 11252    ~~> cli 12207
This theorem is referenced by:  fsumsers  12451  fsumcvg3  12452  ef0lem  12610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211
  Copyright terms: Public domain W3C validator