MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Unicode version

Theorem fsumcvg2 12526
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
2 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
3 nfcsb1v 3285 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
4 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3765 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 )
6 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
7 csbeq1a 3261 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
8 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3763 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4302 . . 3  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
11 fsumsers.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1211ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
133nfel1 2584 . . . . 5  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
147eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1513, 14rspc 3048 . . . 4  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1612, 15mpan9 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
17 fsumsers.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
18 fsumsers.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1910, 16, 17, 18fsumcvg 12511 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq  M
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
20 eluzel2 10498 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2117, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
22 fsumsers.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
23 eluzelz 10501 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
24 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2524adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2625, 11eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2726ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
28 iffalse 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 0cn 9089 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
3028, 29syl6eqel 2526 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
3127, 30pm2.61d1 154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
32 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3332fvmpt2 5815 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
3423, 31, 33syl2anr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3522, 34eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
3635ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
37 nffvmpt1 5739 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 n )
3837nfeq2 2585 . . . . 5  |-  F/ k ( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n )
39 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
40 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4139, 40eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  <-> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4238, 41rspc 3048 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4336, 42mpan9 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4421, 43seqfeq 11353 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  =  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4544fveq1d 5733 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
4619, 44, 453brtr4d 4245 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [_csb 3253    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995    + caddc 8998   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  fsumsers  12527  fsumcvg3  12528  ef0lem  12686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287
  Copyright terms: Public domain W3C validator