MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdivc Structured version   Unicode version

Theorem fsumdivc 12561
Description: A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumdivc.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fsumdivc  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumdivc
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 fsumdivc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
42, 3reccld 9775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
5 fsummulc2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
61, 4, 5fsummulc1 12560 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
71, 5fsumcl 12519 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
87, 2, 3divrecd 9785 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) ) )
92adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
115, 9, 10divrecd 9785 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
1211sumeq2dv 12489 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
136, 8, 123eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    / cdiv 9669   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  efaddlem  12687  fsumdvds  12885  ovolscalem1  19401  plyeq0lem  20121  aareccl  20235  birthdaylem3  20784  logexprlim  21001  logfacrlim2  21002  dchrvmasumlem1  21181  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0  21206  vmalogdivsum2  21224  selberglem2  21232  selberg4lem1  21246  selberg4r  21256  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  pntlemo  21293  axsegconlem9  25856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator