MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdivc Unicode version

Theorem fsumdivc 12498
Description: A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumdivc.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fsumdivc  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumdivc
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 fsumdivc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
42, 3reccld 9717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
5 fsummulc2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
61, 4, 5fsummulc1 12497 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
71, 5fsumcl 12456 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
87, 2, 3divrecd 9727 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) ) )
92adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
115, 9, 10divrecd 9727 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
1211sumeq2dv 12426 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
136, 8, 123eqtr4d 2431 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    / cdiv 9611   sum_csu 12408
This theorem is referenced by:  efaddlem  12624  fsumdvds  12822  ovolscalem1  19278  plyeq0lem  19998  aareccl  20112  birthdaylem3  20661  logexprlim  20878  logfacrlim2  20879  dchrvmasumlem1  21058  dchrisum0lem1  21079  dchrisum0  21083  vmalogdivsum2  21101  selberglem2  21109  selberg4lem1  21123  selberg4r  21133  pntrlog2bndlem5  21144  pntrlog2bndlem6  21146  pntlemo  21170  axsegconlem9  25580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409
  Copyright terms: Public domain W3C validator