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Theorem fsumdvdscom 20962
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 20961. Note that  A depends on both  j and  k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdscom.2  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
fsumdvdscom.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Distinct variable groups:    A, m    B, j    j, k, m, x, N    ph, j, k, m
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)    B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . 3  |-  F/_ u sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A
2 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ j { x  e.  NN  |  x  ||  u }
3 nfcsb1v 3275 . . . 4  |-  F/_ j [_ u  /  j ]_ A
42, 3nfsum 12477 . . 3  |-  F/_ j sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A
5 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  (
x  ||  j  <->  x  ||  u
) )
65rabbidv 2940 . . . 4  |-  ( j  =  u  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  j }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } )
7 csbeq1a 3251 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( j  =  u  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } )  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
96, 8sumeq12dv 12492 . . 3  |-  ( j  =  u  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A )
101, 4, 9cbvsumi 12483 . 2  |-  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A
11 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  (
x  ||  u  <->  x  ||  ( N  /  v ) ) )
1211rabbidv 2940 . . . . 5  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )
13 csbeq1 3246 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( u  =  ( N  /  v )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1512, 14sumeq12dv 12492 . . . 4  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
16 fzfid 11304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
18 sgmss 20881 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
20 ssfi 7321 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
2116, 19, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
22 eqid 2435 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
23 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
2422, 23dvdsflip 20959 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
2517, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
26 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( z  =  v  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  v
) )
27 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( N  /  z )  e. 
_V
2826, 23, 27fvmpt3i 5801 . . . . 5  |-  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
2928adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
30 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... u )  e.  Fin )
31 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
32 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
3331, 32sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  NN )
34 sgmss 20881 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
36 ssfi 7321 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... u
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
3730, 35, 36syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
3938ralrimivva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC )
40 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ u A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC
413nfel1 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ u  /  j ]_ A  e.  CC
422, 41nfral 2751 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC
437eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  u  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
446, 43raleqbidv 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  u  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
4540, 42, 44cbvral 2920 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4639, 45sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4746r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4847r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4937, 48fsumcl 12519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 12509 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
51 dvdsdivcl 20958 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  v )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
5217, 51sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
v )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
5346adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
5413eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5512, 54raleqbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
5655rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  v )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5752, 53, 56sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
5857r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
5958anasss 629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
6017, 59fsumdvdsdiag 20961 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A )
61 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  ( N  /  v )  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )
6261csbeq1d 3249 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A )
63 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  k
) )  e.  Fin )
64 dvdsdivcl 20958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
6531, 64sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e.  NN )
6617, 65sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
67 sgmss 20881 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
69 ssfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  k ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
7063, 68, 69syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
71 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }
72 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) )
7371, 72dvdsflip 20959 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
7466, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) ) : {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
75 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  m  ->  (
( N  /  k
)  /  z )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
76 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  /  z )  e. 
_V
7775, 72, 76fvmpt3i 5801 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  |->  ( ( N  /  k
)  /  z ) ) `  m )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
7877adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) `
 m )  =  ( ( N  / 
k )  /  m
) )
7917fsumdvdsdiaglem 20960 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) ) )
8059ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8179, 80syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8281impl 604 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 12509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) }
[_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A )
84 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( N  /  ( ( N  /  k )  /  m ) )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  e.  _V )
86 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
87 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8886, 87jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
8917, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9190simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  N  e.  CC )
92 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  k  e.  NN )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  NN )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  k  e.  NN )
95 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
96 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
9795, 96jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
99 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  m  e.  NN )
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  m  e.  NN )
101 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
102 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
103101, 102jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
105 divdiv1 9717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  / 
k )  /  m
)  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
10691, 98, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( N  /  k )  /  m )  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
107106oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) ) )
108 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  x.  m
)  e.  NN )
10993, 99, 108syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  x.  m )  e.  NN )
110 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  e.  CC )
111 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  =/=  0 )
112110, 111jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
( k  x.  m
)  e.  CC  /\  ( k  x.  m
)  =/=  0 ) )
113109, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )
114 ddcan 9720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )  -> 
( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
11590, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( N  /  (
k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
116107, 115eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( k  x.  m ) )
117116eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  <->  j  =  ( k  x.  m ) ) )
118117biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  j  =  ( k  x.  m ) )
119 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
120118, 119syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  A  =  B )
12185, 120csbied 3285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A  =  B
)
122121sumeq2dv 12489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
12383, 122eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
124123sumeq2dv 12489 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
12550, 60, 1243eqtrd 2471 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } B )
12610, 125syl5eq 2479 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   [_csb 3243    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    / cdiv 9669   NNcn 9992   ...cfz 11035   sum_csu 12471    || cdivides 12844
This theorem is referenced by:  logsqvma  21228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845
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