Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdscom 20962
 Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 20961. Note that depends on both and . (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1
fsumdvdscom.2
fsumdvdscom.3
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . 3
2 nfcv 2571 . . . 4
3 nfcsb1v 3275 . . . 4
42, 3nfsum 12477 . . 3
5 breq2 4208 . . . . 5
65rabbidv 2940 . . . 4
7 csbeq1a 3251 . . . . 5
87adantr 452 . . . 4
96, 8sumeq12dv 12492 . . 3
101, 4, 9cbvsumi 12483 . 2
11 breq2 4208 . . . . . 6
1211rabbidv 2940 . . . . 5
13 csbeq1 3246 . . . . . 6
1413adantr 452 . . . . 5
1512, 14sumeq12dv 12492 . . . 4
16 fzfid 11304 . . . . 5
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6
18 sgmss 20881 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
20 ssfi 7321 . . . . 5
2116, 19, 20syl2anc 643 . . . 4
22 eqid 2435 . . . . . 6
23 eqid 2435 . . . . . 6
2422, 23dvdsflip 20959 . . . . 5
2517, 24syl 16 . . . 4
26 oveq2 6081 . . . . . 6
27 ovex 6098 . . . . . 6
2826, 23, 27fvmpt3i 5801 . . . . 5
2928adantl 453 . . . 4
30 fzfid 11304 . . . . . 6
31 ssrab2 3420 . . . . . . . 8
32 simpr 448 . . . . . . . 8
3331, 32sseldi 3338 . . . . . . 7
34 sgmss 20881 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6
36 ssfi 7321 . . . . . 6
3730, 35, 36syl2anc 643 . . . . 5
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9
3938ralrimivva 2790 . . . . . . . 8
40 nfv 1629 . . . . . . . . 9
413nfel1 2581 . . . . . . . . . 10
422, 41nfral 2751 . . . . . . . . 9
437eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10
446, 43raleqbidv 2908 . . . . . . . . 9
4540, 42, 44cbvral 2920 . . . . . . . 8
4639, 45sylib 189 . . . . . . 7
4746r19.21bi 2796 . . . . . 6
4847r19.21bi 2796 . . . . 5
4937, 48fsumcl 12519 . . . 4
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 12509 . . 3
51 dvdsdivcl 20958 . . . . . . . 8
5217, 51sylan 458 . . . . . . 7
5346adantr 452 . . . . . . 7
5413eleq1d 2501 . . . . . . . . 9
5512, 54raleqbidv 2908 . . . . . . . 8
5655rspcv 3040 . . . . . . 7
5752, 53, 56sylc 58 . . . . . 6
5857r19.21bi 2796 . . . . 5
5958anasss 629 . . . 4
6017, 59fsumdvdsdiag 20961 . . 3
61 oveq2 6081 . . . . . . 7
6261csbeq1d 3249 . . . . . 6
63 fzfid 11304 . . . . . . 7
64 dvdsdivcl 20958 . . . . . . . . . 10
6531, 64sseldi 3338 . . . . . . . . 9
6617, 65sylan 458 . . . . . . . 8
67 sgmss 20881 . . . . . . . 8
6866, 67syl 16 . . . . . . 7
69 ssfi 7321 . . . . . . 7
7063, 68, 69syl2anc 643 . . . . . 6
71 eqid 2435 . . . . . . . 8
72 eqid 2435 . . . . . . . 8
7371, 72dvdsflip 20959 . . . . . . 7
7466, 73syl 16 . . . . . 6
75 oveq2 6081 . . . . . . . 8
76 ovex 6098 . . . . . . . 8
7775, 72, 76fvmpt3i 5801 . . . . . . 7
7877adantl 453 . . . . . 6
7917fsumdvdsdiaglem 20960 . . . . . . . 8
8059ex 424 . . . . . . . 8
8179, 80syld 42 . . . . . . 7
8281impl 604 . . . . . 6
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 12509 . . . . 5
84 ovex 6098 . . . . . . . 8
8584a1i 11 . . . . . . 7
86 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8886, 87jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8917, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
9190simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13
92 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
95 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15
9795, 96jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
99 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
101 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 102jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
105 divdiv1 9717 . . . . . . . . . . . . 13
10691, 98, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
107106oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
108 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . . . . 14
10993, 99, 108syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
110 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . 14
111 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . 14
112110, 111jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
113109, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12
114 ddcan 9720 . . . . . . . . . . . 12
11590, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
116107, 115eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10
117116eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9
118117biimpa 471 . . . . . . . 8
119 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8
120118, 119syl 16 . . . . . . 7
12185, 120csbied 3285 . . . . . 6
122121sumeq2dv 12489 . . . . 5
12383, 122eqtrd 2467 . . . 4
124123sumeq2dv 12489 . . 3
12550, 60, 1243eqtrd 2471 . 2
12610, 125syl5eq 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  crab 2701  cvv 2948  csb 3243   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   cdiv 9669  cn 9992  cfz 11035  csu 12471   cdivides 12844 This theorem is referenced by:  logsqvma  21228 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845
 Copyright terms: Public domain W3C validator