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Theorem fsumdvdscom 20425
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 20424. Note that  A depends on both  j and  k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdscom.2  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
fsumdvdscom.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Distinct variable groups:    A, m    B, j    j, k, m, x, N    ph, j, k, m
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)    B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . 3  |-  F/_ u sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A
2 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ j { x  e.  NN  |  x  ||  u }
3 nfcsb1v 3113 . . . 4  |-  F/_ j [_ u  /  j ]_ A
42, 3nfsum 12164 . . 3  |-  F/_ j sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A
5 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  (
x  ||  j  <->  x  ||  u
) )
65rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( j  =  u  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  j }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } )
7 csbeq1a 3089 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( ( j  =  u  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } )  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
96, 8sumeq12dv 12179 . . 3  |-  ( j  =  u  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A )
101, 4, 9cbvsumi 12170 . 2  |-  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A
11 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  (
x  ||  u  <->  x  ||  ( N  /  v ) ) )
1211rabbidv 2780 . . . . 5  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )
13 csbeq1 3084 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( u  =  ( N  /  v )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1512, 14sumeq12dv 12179 . . . 4  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
16 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
18 sgmss 20344 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
20 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
2116, 19, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
22 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
23 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
2422, 23dvdsflip 20422 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
2517, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
26 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  v  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  v
) )
27 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( N  /  z )  e. 
_V
2826, 23, 27fvmpt3i 5605 . . . . 5  |-  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
2928adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
30 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... u )  e.  Fin )
31 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
32 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
3331, 32sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  NN )
34 sgmss 20344 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
3533, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
36 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... u
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
3730, 35, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
3938ralrimivva 2635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC )
40 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ u A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC
413nfel1 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ u  /  j ]_ A  e.  CC
422, 41nfral 2596 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC
437eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  u  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
446, 43raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  u  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
4540, 42, 44cbvral 2760 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4639, 45sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4746r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4847r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4937, 48fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 12196 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
51 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  v )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
5217, 51sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
v )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
5346adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
5413eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5512, 54raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
5655rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  v )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5752, 53, 56sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
5857r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
5958anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
6017, 59fsumdvdsdiag 20424 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A )
61 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  ( N  /  v )  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )
6261csbeq1d 3087 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A )
63 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  k
) )  e.  Fin )
64 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
6531, 64sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e.  NN )
6617, 65sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
67 sgmss 20344 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
69 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  k ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
7063, 68, 69syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
71 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }
72 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) )
7371, 72dvdsflip 20422 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
7466, 73syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) ) : {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
75 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  m  ->  (
( N  /  k
)  /  z )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
76 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  /  z )  e. 
_V
7775, 72, 76fvmpt3i 5605 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  |->  ( ( N  /  k
)  /  z ) ) `  m )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
7877adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) `
 m )  =  ( ( N  / 
k )  /  m
) )
7917fsumdvdsdiaglem 20423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) ) )
8059ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8179, 80syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8281impl 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 12196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) }
[_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A )
84 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( N  /  ( ( N  /  k )  /  m ) )  e. 
_V
8584a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  e.  _V )
86 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
87 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8886, 87jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
8917, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9089ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9190simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  N  e.  CC )
9231sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  k  e.  NN )
9392adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  NN )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  k  e.  NN )
95 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
96 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
9795, 96jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
9894, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
99 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  NN
10099sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  m  e.  NN )
101100adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  m  e.  NN )
102 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
103 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
104102, 103jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
105101, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
106 divdiv1 9471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  / 
k )  /  m
)  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
10791, 98, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( N  /  k )  /  m )  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
108107oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) ) )
109 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  x.  m
)  e.  NN )
11093, 100, 109syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  x.  m )  e.  NN )
111 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  e.  CC )
112 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  =/=  0 )
113111, 112jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
( k  x.  m
)  e.  CC  /\  ( k  x.  m
)  =/=  0 ) )
114110, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )
115 ddcan 9474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )  -> 
( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
11690, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( N  /  (
k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
117108, 116eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( k  x.  m ) )
118117eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  <->  j  =  ( k  x.  m ) ) )
119118biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  j  =  ( k  x.  m ) )
120 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
121119, 120syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  A  =  B )
12285, 121csbied 3123 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A  =  B
)
123122sumeq2dv 12176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
12483, 123eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
125124sumeq2dv 12176 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
12650, 60, 1253eqtrd 2319 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } B )
12710, 126syl5eq 2327 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   ...cfz 10782   sum_csu 12158    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  logsqvma  20691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532
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