MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiag Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdsdiag 20971
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12563. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdsdiag.2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiag  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)

Proof of Theorem fsumdvdsdiag
StepHypRef Expression
1 fzfid 11314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fsumdvdsdiag.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 sgmss 20891 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
5 ssfi 7331 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
61, 4, 5syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
7 fzfid 11314 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  j
) )  e.  Fin )
8 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
9 dvdsdivcl 20968 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
102, 9sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
118, 10sseldi 3348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
12 sgmss 20891 . . . 4  |-  ( ( N  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
14 ssfi 7331 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  j ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
j ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
157, 13, 14syl2anc 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
162fsumdvdsdiaglem 20970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
172fsumdvdsdiaglem 20970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) ) )
1816, 17impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  <->  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
19 fsumdvdsdiag.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
206, 6, 15, 18, 19fsumcom2 12560 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   1c1 8993    / cdiv 9679   NNcn 10002   ...cfz 11045   sum_csu 12481    || cdivides 12854
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  20972  muinv  20980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855
  Copyright terms: Public domain W3C validator