MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiag Unicode version

Theorem fsumdvdsdiag 20477
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12287. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdsdiag.2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiag  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)

Proof of Theorem fsumdvdsdiag
StepHypRef Expression
1 fzfid 11082 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fsumdvdsdiag.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 sgmss 20397 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
5 ssfi 7126 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
61, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
7 fzfid 11082 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  j
) )  e.  Fin )
8 ssrab2 3292 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
9 dvdsdivcl 20474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
102, 9sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
118, 10sseldi 3212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
12 sgmss 20397 . . . 4  |-  ( ( N  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
14 ssfi 7126 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  j ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
j ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
157, 13, 14syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
162fsumdvdsdiaglem 20476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
172fsumdvdsdiaglem 20476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) ) )
1816, 17impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  <->  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
19 fsumdvdsdiag.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
206, 6, 15, 18, 19fsumcom2 12284 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581    C_ wss 3186   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   CCcc 8780   1c1 8783    / cdiv 9468   NNcn 9791   ...cfz 10829   sum_csu 12205    || cdivides 12578
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  20478  muinv  20486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-dvds 12579
  Copyright terms: Public domain W3C validator