Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiaglem Unicode version

Theorem fsumdvdsdiaglem 20439
 Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12256. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . 7
21elrab 2936 . . . . . 6
32simplbi 446 . . . . 5
43ad2antll 709 . . . 4
52simprbi 450 . . . . . 6
65ad2antll 709 . . . . 5
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8
87adantr 451 . . . . . . 7
9 simprl 732 . . . . . . 7
10 dvdsdivcl 20437 . . . . . . 7
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6
12 breq1 4042 . . . . . . . 8
1312elrab 2936 . . . . . . 7
1413simprbi 450 . . . . . 6
1511, 14syl 15 . . . . 5
164nnzd 10132 . . . . . 6
1713simplbi 446 . . . . . . . 8
1811, 17syl 15 . . . . . . 7
1918nnzd 10132 . . . . . 6
208nnzd 10132 . . . . . 6
21 dvdstr 12578 . . . . . 6
2216, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . 5
236, 15, 22mp2and 660 . . . 4
24 breq1 4042 . . . . 5
2524elrab 2936 . . . 4
264, 23, 25sylanbrc 645 . . 3
27 breq1 4042 . . . . . . 7
2827elrab 2936 . . . . . 6
2928simplbi 446 . . . . 5
3029ad2antrl 708 . . . 4
3130nnzd 10132 . . . . . . . 8
3230nnne0d 9806 . . . . . . . 8
33 dvdsmulcr 12574 . . . . . . . 8
3416, 19, 31, 32, 33syl112anc 1186 . . . . . . 7
356, 34mpbird 223 . . . . . 6
368nncnd 9778 . . . . . . . 8
3730nncnd 9778 . . . . . . . 8
3836, 37, 32divcan1d 9553 . . . . . . 7
394nncnd 9778 . . . . . . . 8
404nnne0d 9806 . . . . . . . 8
4136, 39, 40divcan2d 9554 . . . . . . 7
4238, 41eqtr4d 2331 . . . . . 6
4335, 42breqtrd 4063 . . . . 5
44 ssrab2 3271 . . . . . . . 8
45 dvdsdivcl 20437 . . . . . . . . 9
468, 26, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8
4744, 46sseldi 3191 . . . . . . 7
4847nnzd 10132 . . . . . 6
49 dvdscmulr 12573 . . . . . 6
5031, 48, 16, 40, 49syl112anc 1186 . . . . 5
5143, 50mpbid 201 . . . 4
52 breq1 4042 . . . . 5
5352elrab 2936 . . . 4
5430, 51, 53sylanbrc 645 . . 3
5526, 54jca 518 . 2
5655ex 423 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1696   wne 2459  crab 2560   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874  cc0 8753   cmul 8758   cdiv 9439  cn 9762  cz 10040   cdivides 12547 This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  20440  fsumdvdscom  20441 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-dvds 12548
 Copyright terms: Public domain W3C validator