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Theorem fsumdvdsdiaglem 20439
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12256. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  ( N  /  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
21elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  ( N  /  j
) ) )
32simplbi 446 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
43ad2antll 709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  NN )
52simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  ||  ( N  /  j
) )
65ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  ( N  /  j ) )
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  NN )
9 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
10 dvdsdivcl 20437 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
12 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  / 
j )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  j )  ||  N ) )
1312elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  j )  e.  NN  /\  ( N  /  j )  ||  N ) )
1413simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  ||  N )
1511, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  ||  N
)
164nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  ZZ )
1713simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  e.  NN )
1811, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
1918nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  ZZ )
208nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 dvdstr 12578 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  ||  ( N  /  j
)  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k 
||  ( N  / 
j )  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
236, 15, 22mp2and 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  N
)
24 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  N  <->  k  ||  N ) )
2524elrab 2936 . . . 4  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  N ) )
264, 23, 25sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
27 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  N  <->  j  ||  N ) )
2827elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) )
2928simplbi 446 . . . . 5  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  j  e.  NN )
3029ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  NN )
3130nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  ZZ )
3230nnne0d 9806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  =/=  0
)
33 dvdsmulcr 12574 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( ( N  /  j )  x.  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
3416, 19, 31, 32, 33syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( ( N  / 
j )  x.  j
)  <->  k  ||  ( N  /  j ) ) )
356, 34mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
( N  /  j
)  x.  j ) )
368nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  CC )
3730nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  CC )
3836, 37, 32divcan1d 9553 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  N )
394nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  CC )
404nnne0d 9806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  =/=  0
)
4136, 39, 40divcan2d 9554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  ( N  /  k
) )  =  N )
4238, 41eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  ( k  x.  ( N  /  k ) ) )
4335, 42breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
k  x.  ( N  /  k ) ) )
44 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
45 dvdsdivcl 20437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
468, 26, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4744, 46sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
4847nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  ZZ )
49 dvdscmulr 12573 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( N  /  k
)  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  k  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( k  x.  ( N  /  k
) )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5031, 48, 16, 40, 49syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( k  x.  ( N  /  k ) )  <-> 
j  ||  ( N  /  k ) ) )
5143, 50mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  ||  ( N  /  k ) )
52 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  ( N  /  k )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5352elrab 2936 . . . 4  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5430, 51, 53sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )
5526, 54jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) )
5655ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  20440  fsumdvdscom  20441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-dvds 12548
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