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Theorem fsumdvdsdiaglem 20960
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12553. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 elrabi 3082 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
21ad2antll 710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  NN )
3 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  ( N  /  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
43elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  ( N  /  j
) ) )
54simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  ||  ( N  /  j
) )
65ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  ( N  /  j ) )
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  NN )
9 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
10 dvdsdivcl 20958 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
12 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  / 
j )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  j )  ||  N ) )
1312elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  j )  e.  NN  /\  ( N  /  j )  ||  N ) )
1413simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  ||  N )
1511, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  ||  N
)
162nnzd 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  ZZ )
17 elrabi 3082 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  e.  NN )
1811, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
1918nnzd 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  ZZ )
208nnzd 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 dvdstr 12875 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  ||  ( N  /  j
)  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k 
||  ( N  / 
j )  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
236, 15, 22mp2and 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  N
)
24 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  N  <->  k  ||  N ) )
2524elrab 3084 . . . 4  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  N ) )
262, 23, 25sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
27 elrabi 3082 . . . . 5  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  j  e.  NN )
2827ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  NN )
2928nnzd 10366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  ZZ )
3028nnne0d 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  =/=  0
)
31 dvdsmulcr 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( ( N  /  j )  x.  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
3216, 19, 29, 30, 31syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( ( N  / 
j )  x.  j
)  <->  k  ||  ( N  /  j ) ) )
336, 32mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
( N  /  j
)  x.  j ) )
348nncnd 10008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  CC )
3528nncnd 10008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  CC )
3634, 35, 30divcan1d 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  N )
372nncnd 10008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  CC )
382nnne0d 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  =/=  0
)
3934, 37, 38divcan2d 9784 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  ( N  /  k
) )  =  N )
4036, 39eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  ( k  x.  ( N  /  k ) ) )
4133, 40breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
k  x.  ( N  /  k ) ) )
42 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
43 dvdsdivcl 20958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
448, 26, 43syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4542, 44sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
4645nnzd 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  ZZ )
47 dvdscmulr 12870 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( N  /  k
)  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  k  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( k  x.  ( N  /  k
) )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
4829, 46, 16, 38, 47syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( k  x.  ( N  /  k ) )  <-> 
j  ||  ( N  /  k ) ) )
4941, 48mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  ||  ( N  /  k ) )
50 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  ( N  /  k )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5150elrab 3084 . . . 4  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5228, 49, 51sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )
5326, 52jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) )
5453ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   0cc0 8982    x. cmul 8987    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274    || cdivides 12844
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  20961  fsumdvdscom  20962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-dvds 12845
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