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Theorem fsumdvdsdiaglem 20423
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 12240. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  ( N  /  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
21elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  ( N  /  j
) ) )
32simplbi 446 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
43ad2antll 709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  NN )
52simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  ||  ( N  /  j
) )
65ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  ( N  /  j ) )
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  NN )
9 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
10 dvdsdivcl 20421 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
12 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  / 
j )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  j )  ||  N ) )
1312elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  j )  e.  NN  /\  ( N  /  j )  ||  N ) )
1413simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  ||  N )
1511, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  ||  N
)
164nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  ZZ )
1713simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  e.  NN )
1811, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
1918nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  ZZ )
208nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 dvdstr 12562 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  ||  ( N  /  j
)  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k 
||  ( N  / 
j )  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
236, 15, 22mp2and 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  N
)
24 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  N  <->  k  ||  N ) )
2524elrab 2923 . . . 4  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  N ) )
264, 23, 25sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
27 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  N  <->  j  ||  N ) )
2827elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) )
2928simplbi 446 . . . . 5  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  j  e.  NN )
3029ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  NN )
3130nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  ZZ )
3230nnne0d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  =/=  0
)
33 dvdsmulcr 12558 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( ( N  /  j )  x.  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
3416, 19, 31, 32, 33syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( ( N  / 
j )  x.  j
)  <->  k  ||  ( N  /  j ) ) )
356, 34mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
( N  /  j
)  x.  j ) )
368nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  CC )
3730nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  CC )
3836, 37, 32divcan1d 9537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  N )
394nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  CC )
404nnne0d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  =/=  0
)
4136, 39, 40divcan2d 9538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  ( N  /  k
) )  =  N )
4238, 41eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  ( k  x.  ( N  /  k ) ) )
4335, 42breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
k  x.  ( N  /  k ) ) )
44 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
45 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
468, 26, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4744, 46sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
4847nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  ZZ )
49 dvdscmulr 12557 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( N  /  k
)  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  k  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( k  x.  ( N  /  k
) )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5031, 48, 16, 40, 49syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( k  x.  ( N  /  k ) )  <-> 
j  ||  ( N  /  k ) ) )
5143, 50mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  ||  ( N  /  k ) )
52 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  ( N  /  k )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5352elrab 2923 . . . 4  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5430, 51, 53sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )
5526, 54jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) )
5655ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  20424  fsumdvdscom  20425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532
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