Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Unicode version

Theorem fsumdvdsmul 20435
 Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that " is a multiplicative function if is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1
dvdsmulf1o.2
dvdsmulf1o.3
dvdsmulf1o.x
dvdsmulf1o.y
dvdsmulf1o.z
fsumdvdsmul.4
fsumdvdsmul.5
fsumdvdsmul.6
fsumdvdsmul.7
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . 4
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6
4 sgmss 20344 . . . . . 6
53, 4syl 15 . . . . 5
62, 5syl5eqss 3222 . . . 4
7 ssfi 7083 . . . 4
81, 6, 7syl2anc 642 . . 3
9 fzfid 11035 . . . . 5
10 dvdsmulf1o.y . . . . . 6
11 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7
12 sgmss 20344 . . . . . . 7
1311, 12syl 15 . . . . . 6
1410, 13syl5eqss 3222 . . . . 5
15 ssfi 7083 . . . . 5
169, 14, 15syl2anc 642 . . . 4
17 fsumdvdsmul.5 . . . 4
1816, 17fsumcl 12206 . . 3
19 fsumdvdsmul.4 . . 3
208, 18, 19fsummulc1 12247 . 2
2116adantr 451 . . . . 5
2217adantlr 695 . . . . 5
2321, 19, 22fsummulc2 12246 . . . 4
24 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6
2524anassrs 629 . . . . 5
2625sumeq2dv 12176 . . . 4
2723, 26eqtrd 2315 . . 3
2827sumeq2dv 12176 . 2
29 fveq2 5525 . . . . . . 7
30 df-ov 5861 . . . . . . 7
3129, 30syl6eqr 2333 . . . . . 6
3231csbeq1d 3087 . . . . 5
33 ovex 5883 . . . . . 6
34 nfcv 2419 . . . . . 6
35 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6
3633, 34, 35csbief 3122 . . . . 5
3732, 36syl6eq 2331 . . . 4
3819adantrr 697 . . . . . 6
3917adantrl 696 . . . . . 6
4038, 39mulcld 8855 . . . . 5
4124, 40eqeltrrd 2358 . . . 4
4237, 8, 16, 41fsumxp 12235 . . 3
43 nfcv 2419 . . . . 5
44 nfcsb1v 3113 . . . . 5
45 csbeq1a 3089 . . . . 5
4643, 44, 45cbvsumi 12170 . . . 4
47 csbeq1 3084 . . . . 5
48 xpfi 7128 . . . . . 6
498, 16, 48syl2anc 642 . . . . 5
50 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6
51 dvdsmulf1o.z . . . . . 6
523, 11, 50, 2, 10, 51dvdsmulf1o 20434 . . . . 5
53 fvres 5542 . . . . . 6
5453adantl 452 . . . . 5
5541ralrimivva 2635 . . . . . . . 8
5637eleq1d 2349 . . . . . . . . 9
5756ralxp 4827 . . . . . . . 8
5855, 57sylibr 203 . . . . . . 7
59 ax-mulf 8817 . . . . . . . . . 10
60 ffn 5389 . . . . . . . . . 10
6159, 60ax-mp 8 . . . . . . . . 9
62 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12
632, 62eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11
64 nnsscn 9751 . . . . . . . . . . 11
6563, 64sstri 3188 . . . . . . . . . 10
66 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12
6710, 66eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11
6867, 64sstri 3188 . . . . . . . . . 10
69 xpss12 4792 . . . . . . . . . 10
7065, 68, 69mp2an 653 . . . . . . . . 9
7147eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
7271ralima 5758 . . . . . . . . 9
7361, 70, 72mp2an 653 . . . . . . . 8
74 df-ima 4702 . . . . . . . . . 10
75 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . 11
76 forn 5454 . . . . . . . . . . 11
7752, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . 10
7874, 77syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
7978raleqdv 2742 . . . . . . . 8
8073, 79syl5bbr 250 . . . . . . 7
8158, 80mpbid 201 . . . . . 6
8281r19.21bi 2641 . . . . 5
8347, 49, 52, 54, 82fsumf1o 12196 . . . 4
8446, 83syl5eq 2327 . . 3
8542, 84eqtr4d 2318 . 2
8620, 28, 853eqtrd 2319 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  csb 3081   wss 3152  cop 3643   class class class wbr 4023   cxp 4687   crn 4690   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  c1 8738   cmul 8742  cn 9746  cfz 10782  csu 12158   cdivides 12531   cgcd 12685 This theorem is referenced by:  sgmmul  20440  dchrisum0fmul  20655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686
 Copyright terms: Public domain W3C validator