MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumf1o Structured version   Unicode version

Theorem fsumf1o 12517
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 12515 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5666 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5681 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5711 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 12495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 12495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 12515 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( f `  n
) ) )
1817fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
19 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
20 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
21 f1of 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2322ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
24 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2624, 25fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2726ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2823, 27syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2928adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) )  e.  CC )
302adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
31 f1oco 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
3230, 20, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
33 f1of 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C ) ) --> A )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A )
35 fvco3 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3634, 35sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
37 f1of 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  f :
( 1 ... ( # `
 C ) ) --> C )
3837ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
39 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4038, 39sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4140fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4236, 41eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4318, 19, 20, 29, 42fsum 12514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4522ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
47 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
4847, 25fvmpti 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5044fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
51 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5251fvmpt2i 5811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  C  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5449, 50, 533eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5554ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
56 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
5756nfeq1 2581 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
59 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
6059fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6158, 60eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6257, 61rspc 3046 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6355, 62mpan9 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6463adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
) )
6564sumeq2dv 12497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) )
66 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6867ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
6966, 19, 32, 68, 36fsum 12514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
7043, 65, 693eqtr4rd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
71 sumfc 12503 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
72 sumfc 12503 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D
7370, 71, 723eqtr3g 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
)
7473expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7574exlimdv 1646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7675expimpd 587 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  C )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
77 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
78 fz1f1o 12504 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( # `  C )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
7977, 78syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8016, 76, 79mpjaod 371 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   (/)c0 3628    e. cmpt 4266    _I cid 4493    o. ccom 4882   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000   ...cfz 11043    seq cseq 11323   #chash 11618   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  fsumss  12519  fsum2dlem  12554  fsumcnv  12557  fsumrev  12562  fsumshft  12563  ackbijnn  12607  incexclem  12616  ovoliunlem1  19398  ovolicc2lem4  19416  itg1addlem4  19591  itg1mulc  19596  basellem3  20865  basellem5  20867  fsumdvdscom  20970  dvdsflsumcom  20973  musum  20976  fsumdvdsmul  20980  sgmppw  20981  fsumvma  20997  dchrsum2  21052  sumdchr2  21054  dchrisumlem1  21183  dchrisum0flblem1  21202  dchrisum0fno1  21205  phisum  27495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator