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Theorem fsumfldivdiaglem 20429
Description: Lemma for fsumfldivdiag 20430. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumfldivdiag.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumfldivdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    ph, m, n

Proof of Theorem fsumfldivdiaglem
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n ) ) ) )
2 fsumfldivdiag.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
4 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5 fznnfl 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
63, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
74, 6mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  n  <_  A ) )
87simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
93, 8nndivred 9794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
10 fznnfl 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  n )  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
121, 11mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  NN  /\  m  <_  ( A  /  n ) ) )
1312simpld 445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
1413nnred 9761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
1512simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  ( A  /  n
) )
163recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
1716mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  =  A )
188nnge1d 9788 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  <_  n )
19 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
218nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
22 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
248, 13nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  NN )
2524nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  RR )
2624nngt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  ( n  x.  m
) )
278nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  n )
28 lemuldiv2 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
2914, 3, 21, 27, 28syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
3015, 29mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  <_  A )
3123, 25, 3, 26, 30ltletrd 8976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  A )
32 lemul1 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) ) )
3320, 21, 3, 31, 32syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_ 
( n  x.  A
) ) )
3418, 33mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) )
3517, 34eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( n  x.  A
) )
36 ledivmul 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( A  /  n )  <_  A 
<->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
373, 3, 21, 27, 36syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( A  /  n
)  <_  A  <->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
3835, 37mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  <_  A )
3914, 9, 3, 15, 38letrd 8973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  A )
40 fznnfl 10966 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
413, 40syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
4213, 39, 41mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4313nngt0d 9789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  m )
44 lemuldiv 9635 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4521, 3, 14, 43, 44syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4630, 45mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  m
) )
473, 13nndivred 9794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  m )  e.  RR )
48 fznnfl 10966 . . . . 5  |-  ( ( A  /  m )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
4947, 48syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
508, 46, 49mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m ) ) ) )
5142, 50jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) ) ) )
5251ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   ...cfz 10782   |_cfl 10924
This theorem is referenced by:  fsumfldivdiag  20430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fl 10925
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