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Theorem fsumfldivdiaglem 20445
Description: Lemma for fsumfldivdiag 20446. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumfldivdiag.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumfldivdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    ph, m, n

Proof of Theorem fsumfldivdiaglem
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n ) ) ) )
2 fsumfldivdiag.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
4 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5 fznnfl 10982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
63, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
74, 6mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  n  <_  A ) )
87simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
93, 8nndivred 9810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
10 fznnfl 10982 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  n )  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
121, 11mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  NN  /\  m  <_  ( A  /  n ) ) )
1312simpld 445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
1413nnred 9777 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
1512simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  ( A  /  n
) )
163recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
1716mulid2d 8869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  =  A )
188nnge1d 9804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  <_  n )
19 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
218nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
22 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
248, 13nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  NN )
2524nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  RR )
2624nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  ( n  x.  m
) )
278nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  n )
28 lemuldiv2 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
2914, 3, 21, 27, 28syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
3015, 29mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  <_  A )
3123, 25, 3, 26, 30ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  A )
32 lemul1 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) ) )
3320, 21, 3, 31, 32syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_ 
( n  x.  A
) ) )
3418, 33mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) )
3517, 34eqbrtrrd 4061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( n  x.  A
) )
36 ledivmul 9645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( A  /  n )  <_  A 
<->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
373, 3, 21, 27, 36syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( A  /  n
)  <_  A  <->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
3835, 37mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  <_  A )
3914, 9, 3, 15, 38letrd 8989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  A )
40 fznnfl 10982 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
413, 40syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
4213, 39, 41mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4313nngt0d 9805 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  m )
44 lemuldiv 9651 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4521, 3, 14, 43, 44syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4630, 45mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  m
) )
473, 13nndivred 9810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  m )  e.  RR )
48 fznnfl 10982 . . . . 5  |-  ( ( A  /  m )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
4947, 48syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
508, 46, 49mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m ) ) ) )
5142, 50jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) ) ) )
5251ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   ...cfz 10798   |_cfl 10940
This theorem is referenced by:  fsumfldivdiag  20446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fl 10941
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