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Theorem fsumfldivdiaglem 20974
Description: Lemma for fsumfldivdiag 20975. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumfldivdiag.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumfldivdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    ph, m, n

Proof of Theorem fsumfldivdiaglem
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n ) ) ) )
2 fsumfldivdiag.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
4 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5 fznnfl 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
63, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  A ) ) )
74, 6mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  n  <_  A ) )
87simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
93, 8nndivred 10048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
10 fznnfl 11243 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  n )  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  n
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( A  /  n
) ) ) )
121, 11mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  NN  /\  m  <_  ( A  /  n ) ) )
1312simpld 446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
1413nnred 10015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
1512simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  ( A  /  n
) )
163recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
1716mulid2d 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  =  A )
188nnge1d 10042 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  <_  n )
19 1re 9090 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
218nnred 10015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
22 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
248, 13nnmulcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  NN )
2524nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  e.  RR )
2624nngt0d 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  ( n  x.  m
) )
278nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  n )
28 lemuldiv2 9890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
2914, 3, 21, 27, 28syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  m  <_  ( A  /  n ) ) )
3015, 29mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  x.  m )  <_  A )
3123, 25, 3, 26, 30ltletrd 9230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  A )
32 lemul1 9862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) ) )
3320, 21, 3, 31, 32syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  <_  n  <->  ( 1  x.  A )  <_ 
( n  x.  A
) ) )
3418, 33mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
1  x.  A )  <_  ( n  x.  A ) )
3517, 34eqbrtrrd 4234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( n  x.  A
) )
36 ledivmul 9883 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( A  /  n )  <_  A 
<->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
373, 3, 21, 27, 36syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( A  /  n
)  <_  A  <->  A  <_  ( n  x.  A ) ) )
3835, 37mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  n )  <_  A )
3914, 9, 3, 15, 38letrd 9227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  <_  A )
40 fznnfl 11243 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
413, 40syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
4213, 39, 41mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4313nngt0d 10043 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  0  <  m )
44 lemuldiv 9889 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )  ->  ( ( n  x.  m )  <_  A 
<->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4521, 3, 14, 43, 44syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
( n  x.  m
)  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  m ) ) )
4630, 45mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  m
) )
473, 13nndivred 10048 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  ( A  /  m )  e.  RR )
48 fznnfl 11243 . . . . 5  |-  ( ( A  /  m )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  m
) ) ) )
508, 46, 49mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m ) ) ) )
5142, 50jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  m
) ) ) ) )
5251ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   ...cfz 11043   |_cfl 11201
This theorem is referenced by:  fsumfldivdiag  20975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fl 11202
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