MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Unicode version

Theorem fsumge0 12253
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
fsumge0  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 10746 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
21simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
32ssriv 3184 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
4 ax-resscn 8794 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3188 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
65a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )
7 ge0addcl 10748 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
9 fsumge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
10 fsumge0.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 fsumge0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
12 elrege0 10746 . . . 4  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
14 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 0le0 9827 . . . . 5  |-  0  <_  0
16 elrege0 10746 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1714, 15, 16mpbir2an 886 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1817a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
196, 8, 9, 13, 18fsumcllem 12205 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
20 elrege0 10746 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  B ) )
2120simprbi 450 . 2  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
2219, 21syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumless  12254  fsumle  12257  o1fsum  12271  itg1ge0  19041  itg1ge0a  19066  mtest  19781  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  ftalem4  20313  ftalem5  20314  chtge0  20350  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rpvmasumlem  20636  dchrvmasumlem2  20647  dchrisum0re  20662  rplogsum  20676  dirith2  20677  mulog2sumlem2  20684  vmalogdivsum2  20687  2vmadivsumlem  20689  selbergb  20698  selberg2b  20701  logdivbnd  20705  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1  20735  pntlemf  20754  esumcvg  23454  axsegconlem3  24547  ax5seglem3  24559  csbrn  26462  trirn  26463  rrnmet  26553  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator