MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Unicode version

Theorem fsumge0 12269
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
fsumge0  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 10762 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
21simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
32ssriv 3197 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
4 ax-resscn 8810 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3201 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
65a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )
7 ge0addcl 10764 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
9 fsumge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
10 fsumge0.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 fsumge0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
12 elrege0 10762 . . . 4  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
14 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 0le0 9843 . . . . 5  |-  0  <_  0
16 elrege0 10762 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1714, 15, 16mpbir2an 886 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1817a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
196, 8, 9, 13, 18fsumcllem 12221 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
20 elrege0 10762 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  B ) )
2120simprbi 450 . 2  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
2219, 21syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsumless  12270  fsumle  12273  o1fsum  12287  itg1ge0  19057  itg1ge0a  19082  mtest  19797  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  ftalem4  20329  ftalem5  20330  chtge0  20366  vmadivsum  20647  vmadivsumb  20648  rpvmasumlem  20652  dchrvmasumlem2  20663  dchrisum0re  20678  rplogsum  20692  dirith2  20693  mulog2sumlem2  20700  vmalogdivsum2  20703  2vmadivsumlem  20705  selbergb  20714  selberg2b  20717  logdivbnd  20721  selberg3lem2  20723  selberg4lem1  20725  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bnd  20749  pntpbnd1  20751  pntlemf  20770  esumcvg  23469  axsegconlem3  24619  ax5seglem3  24631  csbrn  26565  trirn  26566  rrnmet  26656  rrndstprj1  26657  rrndstprj2  26658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator