MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Unicode version

Theorem fsumge0 12576
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
fsumge0  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11009 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
21simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
32ssriv 3354 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
4 ax-resscn 9049 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3359 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )
7 ge0addcl 11011 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
87adantl 454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
9 fsumge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
10 fsumge0.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 fsumge0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
12 elrege0 11009 . . . 4  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
14 0re 9093 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 0le0 10083 . . . . 5  |-  0  <_  0
16 elrege0 11009 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1714, 15, 16mpbir2an 888 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
196, 8, 9, 13, 18fsumcllem 12528 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
20 elrege0 11009 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  B ) )
2120simprbi 452 . 2  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
2219, 21syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    +oocpnf 9119    <_ cle 9123   [,)cico 10920   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  fsumless  12577  fsumle  12580  o1fsum  12594  itg1ge0  19580  itg1ge0a  19605  mtest  20322  abelthlem7  20356  abelthlem8  20357  ftalem4  20860  ftalem5  20861  chtge0  20897  vmadivsum  21178  vmadivsumb  21179  rpvmasumlem  21183  dchrvmasumlem2  21194  dchrisum0re  21209  rplogsum  21223  dirith2  21224  mulog2sumlem2  21231  vmalogdivsum2  21234  2vmadivsumlem  21236  selbergb  21245  selberg2b  21248  logdivbnd  21252  selberg3lem2  21254  selberg4lem1  21256  pntrlog2bndlem1  21273  pntrlog2bndlem2  21274  pntrlog2bnd  21280  pntpbnd1  21282  pntlemf  21301  sibfof  24656  axsegconlem3  25860  ax5seglem3  25872  csbrn  26458  trirn  26459  rrnmet  26540  rrndstprj1  26541  rrndstprj2  26542  stoweidlem26  27753  stoweidlem38  27765  stoweidlem44  27771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482
  Copyright terms: Public domain W3C validator