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Theorem fsumharmonic 20305
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound  C only applies asymptotically, and there is a "weak" bound  R for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
fsumharmonic.t  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
fsumharmonic.r  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
fsumharmonic.b  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
fsumharmonic.c  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
fsumharmonic.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
fsumharmonic.1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
fsumharmonic.2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    ph, n    R, n    T, n
Allowed substitution hints:    B( n)    C( n)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 fsumharmonic.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3 elfznn 10819 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
64nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
72, 5, 6divcld 9536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( B  /  n )  e.  CC )
81, 7fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( B  /  n )  e.  CC )
98abscld 11918 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  e.  RR )
102abscld 11918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
1110, 4nndivred 9794 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
121, 11fsumrecl 12207 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
13 fsumharmonic.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
141, 13fsumrecl 12207 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) C  e.  RR )
15 fsumharmonic.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
1615simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
1817simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
19 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
2019a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
21 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
23 0lt1 9296 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
2517simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
2620, 22, 18, 24, 25ltletrd 8976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2718, 26elrpd 10388 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2827relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  RR )
2928, 22readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
3016, 29remulcld 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) )  e.  RR )
3114, 30readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )  e.  RR )
321, 7fsumabs 12259 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) ) )
332, 5, 6absdivd 11937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  n ) ) )
344nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3534rprege0d 10397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
36 absid 11781 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
3735, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
3837oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3933, 38eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
4039sumeq2dv 12176 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
4132, 40breqtrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
42 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4342, 27rpdivcld 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR+ )
4443rprege0d 10397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  T )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) ) )
45 flge0nn0 10948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4746nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
4847ltp1d 9687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) )
49 fzdisj 10817 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
5048, 49syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
51 nn0p1nn 10003 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 )  e.  NN )
5246, 51syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  NN )
53 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5452, 53syl6eleq 2373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5543rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR )
5642rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5718, 26jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )
5842rpregt0d 10396 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
59 lediv2 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
6022, 24, 57, 58, 59syl211anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
6125, 60mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  ( A  /  1 ) )
6256recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6362div1d 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6461, 63breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  A )
65 flword2 10943 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  /  T )  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )
6655, 56, 64, 65syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
67 fzsplit2 10815 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ) )
6854, 66, 67syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  u.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
6911recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  CC )
7050, 68, 1, 69fsumsplit 12212 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) ) )
71 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  e.  Fin )
72 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7372, 68syl5sseqr 3227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7473sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7574, 11syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
7671, 75fsumrecl 12207 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
77 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
78 ssun2 3339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) )  C_  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7978, 68syl5sseqr 3227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
8079sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
8180, 11syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
8277, 81fsumrecl 12207 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
8374, 13syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
8471, 83fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  e.  RR )
85 fznnfl 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  T
) ) ) )
8655, 85syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  T ) ) ) )
8786simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  T ) )
8834rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR )
8956adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
9057adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T ) )
91 lemuldiv2 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9288, 89, 90, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9318adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
9493, 89, 34lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9592, 94bitr3d 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9674, 95syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9787, 96mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  T  <_  ( A  /  n ) )
98 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
9998ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
10074, 99syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
10197, 100mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
)
10274, 2syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
103102abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
10474, 3syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
105104nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
106103, 83, 105ledivmul2d 10440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  /  n )  <_  C  <->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
107101, 106mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  C
)
10871, 75, 83, 107fsumle 12257 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) C )
109 fsumharmonic.0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
1101, 13, 109, 73fsumless 12254 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
11176, 84, 14, 108, 110letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
11280, 3syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
113112nnrecred 9791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11477, 113fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
11516, 114remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11616adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  RR )
117116recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  CC )
118112nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
119112nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
120117, 118, 119divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  =  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
121116, 112nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  e.  RR )
122120, 121eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12380, 10syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
12480, 34syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
125 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  n  e.  (/)
126 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  i^i  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
12750eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
128126, 127syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
129125, 128mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
130 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  ->  -.  n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
131129, 130sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
132131con2d 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ) )
133132imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
13485baibd 875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
13555, 3, 134syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
136135, 95bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
13780, 136syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
138133, 137mtbid 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  T  <_  ( A  /  n
) )
13956adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
140139, 112nndivred 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
14118adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
142140, 141ltnled 8966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  <->  -.  T  <_  ( A  /  n ) ) )
143138, 142mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  <  T
)
144 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
145144ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
14680, 145syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
147143, 146mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  R
)
148123, 116, 124, 147lediv1dd 10444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  /  n ) )
149148, 120breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
15077, 81, 122, 149fsumle 12257 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
15116recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
152113recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15377, 151, 152fsummulc2 12246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
154150, 153breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) ) )
1554nnrecred 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
156155recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15750, 68, 1, 156fsumsplit 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) ) )
158157oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
159104nnrecred 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
16071, 159fsumrecl 12207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
161160recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  CC )
162114recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
163161, 162pncan2d 9159 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )
164158, 163eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )
1651, 155fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
166165adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
167160adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
168166, 167resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
16919a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  e.  RR )
17029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
171 fzfid 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  e. 
Fin )
172105adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
173172rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
174173rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
175173rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  n ) )
17642adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR+ )
177176rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  A )
178 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  1 )
179 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  =  1
180178, 179syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( 0  +  1 ) )
18156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR )
182 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
183 flbi 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  0  <-> 
( 0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
184181, 182, 183sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( |_ `  A
)  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
185177, 180, 184mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
186185oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... 0
) )
187 fz10 10814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
188186, 187syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  (/) )
189 0ss 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  C_  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )
190189a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (/)  C_  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )
191188, 190eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
192171, 174, 175, 191fsumless 12254 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
193166, 167suble0d 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) ) )
194192, 193mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0
)
19518, 25logge0d 19981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  T ) )
196 0le1 9297 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
197196a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
19828, 22, 195, 197addge0d 9348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
199198adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
200168, 169, 170, 194, 199letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
201 harmonicubnd 20303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
20256, 201sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
203 harmoniclbnd 20302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20443, 203syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
205204adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20642relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
207 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  A )  e.  RR  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
20943relogcld 19974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
210 le2sub 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )  /\  ( ( ( log `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  A
)  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
211165, 160, 208, 209, 210syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
212211adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
213202, 205, 212mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) )
214206recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
21522recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21628recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  CC )
217214, 215, 216pnncand 9196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) )  =  ( 1  +  ( log `  T ) ) )
21842, 27relogdivd 19977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  T ) ) )
219218oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) ) )
220 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
221 addcom 8998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
222216, 220, 221sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
223217, 219, 2223eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
224223adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) )  =  ( ( log `  T )  +  1 ) )
225213, 224breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
226200, 225, 56, 22ltlecasei 8928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
227164, 226eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
228 lemul2a 9611 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  /\  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  T
)  +  1 ) )  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )
229114, 29, 15, 227, 228syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
23082, 115, 30, 154, 229letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
23176, 82, 14, 30, 111, 230le2addd 9390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) C  +  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) ) ) )
23270, 231eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
2339, 12, 31, 41, 232letrd 8973 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719   sum_csu 12158   logclog 19912
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  20647  mulog2sumlem2  20684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-em 20287
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