Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumharmonic Structured version   Unicode version

Theorem fsumharmonic 20850
 Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound only applies asymptotically, and there is a "weak" bound for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a
fsumharmonic.t
fsumharmonic.r
fsumharmonic.b
fsumharmonic.c
fsumharmonic.0
fsumharmonic.1
fsumharmonic.2
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 11312 . . . 4
2 fsumharmonic.b . . . . 5
3 elfznn 11080 . . . . . . 7
43adantl 453 . . . . . 6
54nncnd 10016 . . . . 5
64nnne0d 10044 . . . . 5
72, 5, 6divcld 9790 . . . 4
81, 7fsumcl 12527 . . 3
98abscld 12238 . 2
102abscld 12238 . . . 4
1110, 4nndivred 10048 . . 3
121, 11fsumrecl 12528 . 2
13 fsumharmonic.c . . . 4
141, 13fsumrecl 12528 . . 3
15 fsumharmonic.r . . . . 5
1615simpld 446 . . . 4
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8
1817simpld 446 . . . . . . 7
19 0re 9091 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
21 1re 9090 . . . . . . . . 9
2221a1i 11 . . . . . . . 8
23 0lt1 9550 . . . . . . . . 9
2423a1i 11 . . . . . . . 8
2517simprd 450 . . . . . . . 8
2620, 22, 18, 24, 25ltletrd 9230 . . . . . . 7
2718, 26elrpd 10646 . . . . . 6
2827relogcld 20518 . . . . 5
2928, 22readdcld 9115 . . . 4
3016, 29remulcld 9116 . . 3
3114, 30readdcld 9115 . 2
321, 7fsumabs 12580 . . 3
332, 5, 6absdivd 12257 . . . . 5
344nnrpd 10647 . . . . . . . 8
3534rprege0d 10655 . . . . . . 7
36 absid 12101 . . . . . . 7
3735, 36syl 16 . . . . . 6
3837oveq2d 6097 . . . . 5
3933, 38eqtrd 2468 . . . 4
4039sumeq2dv 12497 . . 3
4132, 40breqtrd 4236 . 2
42 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10
4342, 27rpdivcld 10665 . . . . . . . . 9
4443rprege0d 10655 . . . . . . . 8
45 flge0nn0 11225 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
4746nn0red 10275 . . . . . 6
4847ltp1d 9941 . . . . 5
49 fzdisj 11078 . . . . 5
5048, 49syl 16 . . . 4
51 nn0p1nn 10259 . . . . . . 7
5246, 51syl 16 . . . . . 6
53 nnuz 10521 . . . . . 6
5452, 53syl6eleq 2526 . . . . 5
5543rpred 10648 . . . . . 6
5642rpred 10648 . . . . . 6
5718, 26jca 519 . . . . . . . . 9
5842rpregt0d 10654 . . . . . . . . 9
59 lediv2 9900 . . . . . . . . 9
6022, 24, 57, 58, 59syl211anc 1190 . . . . . . . 8
6125, 60mpbid 202 . . . . . . 7
6256recnd 9114 . . . . . . . 8
6362div1d 9782 . . . . . . 7
6461, 63breqtrd 4236 . . . . . 6
65 flword2 11220 . . . . . 6
6655, 56, 64, 65syl3anc 1184 . . . . 5
67 fzsplit2 11076 . . . . 5
6854, 66, 67syl2anc 643 . . . 4
6911recnd 9114 . . . 4
7050, 68, 1, 69fsumsplit 12533 . . 3
71 fzfid 11312 . . . . 5
72 ssun1 3510 . . . . . . . 8
7372, 68syl5sseqr 3397 . . . . . . 7
7473sselda 3348 . . . . . 6
7574, 11syldan 457 . . . . 5
7671, 75fsumrecl 12528 . . . 4
77 fzfid 11312 . . . . 5
78 ssun2 3511 . . . . . . . 8
7978, 68syl5sseqr 3397 . . . . . . 7
8079sselda 3348 . . . . . 6
8180, 11syldan 457 . . . . 5
8277, 81fsumrecl 12528 . . . 4
8374, 13syldan 457 . . . . . 6
8471, 83fsumrecl 12528 . . . . 5
85 fznnfl 11243 . . . . . . . . . . 11
8655, 85syl 16 . . . . . . . . . 10
8786simplbda 608 . . . . . . . . 9
8834rpred 10648 . . . . . . . . . . . 12
8956adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
9057adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
91 lemuldiv2 9890 . . . . . . . . . . . 12
9288, 89, 90, 91syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
9318adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
9493, 89, 34lemuldivd 10693 . . . . . . . . . . 11
9592, 94bitr3d 247 . . . . . . . . . 10
9674, 95syldan 457 . . . . . . . . 9
9787, 96mpbid 202 . . . . . . . 8
98 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10
9998ex 424 . . . . . . . . 9
10074, 99syldan 457 . . . . . . . 8
10197, 100mpd 15 . . . . . . 7
10274, 2syldan 457 . . . . . . . . 9
103102abscld 12238 . . . . . . . 8
10474, 3syl 16 . . . . . . . . 9
105104nnrpd 10647 . . . . . . . 8
106103, 83, 105ledivmul2d 10698 . . . . . . 7
107101, 106mpbird 224 . . . . . 6
10871, 75, 83, 107fsumle 12578 . . . . 5
109 fsumharmonic.0 . . . . . 6
1101, 13, 109, 73fsumless 12575 . . . . 5
11176, 84, 14, 108, 110letrd 9227 . . . 4
11280, 3syl 16 . . . . . . . 8
113112nnrecred 10045 . . . . . . 7
11477, 113fsumrecl 12528 . . . . . 6
11516, 114remulcld 9116 . . . . 5
11616adantr 452 . . . . . . . . . 10
117116recnd 9114 . . . . . . . . 9
118112nncnd 10016 . . . . . . . . 9
119112nnne0d 10044 . . . . . . . . 9
120117, 118, 119divrecd 9793 . . . . . . . 8
121116, 112nndivred 10048 . . . . . . . 8
122120, 121eqeltrrd 2511 . . . . . . 7
12380, 10syldan 457 . . . . . . . . 9
12480, 34syldan 457 . . . . . . . . 9
125 noel 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12750eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129125, 128mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . 15
131129, 130sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
132131con2d 109 . . . . . . . . . . . . 13
133132imp 419 . . . . . . . . . . . 12
13485baibd 876 . . . . . . . . . . . . . . 15
13555, 3, 134syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
136135, 95bitrd 245 . . . . . . . . . . . . 13
13780, 136syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
138133, 137mtbid 292 . . . . . . . . . . 11
13956adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
140139, 112nndivred 10048 . . . . . . . . . . . 12
14118adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
142140, 141ltnled 9220 . . . . . . . . . . 11
143138, 142mpbird 224 . . . . . . . . . 10
144 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12
145144ex 424 . . . . . . . . . . 11
14680, 145syldan 457 . . . . . . . . . 10
147143, 146mpd 15 . . . . . . . . 9
148123, 116, 124, 147lediv1dd 10702 . . . . . . . 8
149148, 120breqtrd 4236 . . . . . . 7
15077, 81, 122, 149fsumle 12578 . . . . . 6
15116recnd 9114 . . . . . . 7
152113recnd 9114 . . . . . . 7
15377, 151, 152fsummulc2 12567 . . . . . 6
154150, 153breqtrrd 4238 . . . . 5
1554nnrecred 10045 . . . . . . . . . . 11
156155recnd 9114 . . . . . . . . . 10
15750, 68, 1, 156fsumsplit 12533 . . . . . . . . 9
158157oveq1d 6096 . . . . . . . 8
159104nnrecred 10045 . . . . . . . . . . 11
16071, 159fsumrecl 12528 . . . . . . . . . 10
161160recnd 9114 . . . . . . . . 9
162114recnd 9114 . . . . . . . . 9
163161, 162pncan2d 9413 . . . . . . . 8
164158, 163eqtrd 2468 . . . . . . 7
1651, 155fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . 11
166165adantr 452 . . . . . . . . . 10
167160adantr 452 . . . . . . . . . 10
168166, 167resubcld 9465 . . . . . . . . 9
16919a1i 11 . . . . . . . . 9
17029adantr 452 . . . . . . . . 9
171 fzfid 11312 . . . . . . . . . . 11
172105adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
173172rpreccld 10658 . . . . . . . . . . . 12
174173rpred 10648 . . . . . . . . . . 11
175173rpge0d 10652 . . . . . . . . . . 11
17642adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177176rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15
178 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 0p1e1 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180178, 179syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . . . . 15
18156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182 0z 10293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183 flbi 11223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184181, 182, 183sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
185177, 180, 184mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14
186185oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
187 fz10 11075 . . . . . . . . . . . . 13
188186, 187syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12
189 0ss 3656 . . . . . . . . . . . 12
190188, 189syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . 11
191171, 174, 175, 190fsumless 12575 . . . . . . . . . 10
192166, 167suble0d 9617 . . . . . . . . . 10
193191, 192mpbird 224 . . . . . . . . 9
19418, 25logge0d 20525 . . . . . . . . . . 11
195 0le1 9551 . . . . . . . . . . . 12
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11
19728, 22, 194, 196addge0d 9602 . . . . . . . . . 10
198197adantr 452 . . . . . . . . 9
199168, 169, 170, 193, 198letrd 9227 . . . . . . . 8
200 harmonicubnd 20848 . . . . . . . . . . 11
20156, 200sylan 458 . . . . . . . . . 10
202 harmoniclbnd 20847 . . . . . . . . . . . 12
20343, 202syl 16 . . . . . . . . . . 11
204203adantr 452 . . . . . . . . . 10
20542relogcld 20518 . . . . . . . . . . . . 13
206 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . 13
207205, 206syl 16 . . . . . . . . . . . 12
20843relogcld 20518 . . . . . . . . . . . 12
209 le2sub 9527 . . . . . . . . . . . 12
210165, 160, 207, 208, 209syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
211210adantr 452 . . . . . . . . . 10
212201, 204, 211mp2and 661 . . . . . . . . 9
213205recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
21422recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
21528recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
216213, 214, 215pnncand 9450 . . . . . . . . . . 11
21742, 27relogdivd 20521 . . . . . . . . . . . 12
218217oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
219 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12
220 addcom 9252 . . . . . . . . . . . 12
221215, 219, 220sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
222216, 218, 2213eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10
223222adantr 452 . . . . . . . . 9
224212, 223breqtrd 4236 . . . . . . . 8
225199, 224, 56, 22ltlecasei 9181 . . . . . . 7
226164, 225eqbrtrrd 4234 . . . . . 6
227 lemul2a 9865 . . . . . 6
228114, 29, 15, 226, 227syl31anc 1187 . . . . 5
22982, 115, 30, 154, 228letrd 9227 . . . 4
23076, 82, 14, 30, 111, 229le2addd 9644 . . 3
23170, 230eqbrtrd 4232 . 2
2329, 12, 31, 41, 231letrd 9227 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cun 3318   cin 3319  c0 3628   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  crp 10612  cfz 11043  cfl 11201  cabs 12039  csu 12479  clog 20452 This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  21192  mulog2sumlem2  21229 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-em 20831
 Copyright terms: Public domain W3C validator