Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumharmonic Unicode version

Theorem fsumharmonic 20305
 Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound only applies asymptotically, and there is a "weak" bound for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a
fsumharmonic.t
fsumharmonic.r
fsumharmonic.b
fsumharmonic.c
fsumharmonic.0
fsumharmonic.1
fsumharmonic.2
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . 4
2 fsumharmonic.b . . . . 5
3 elfznn 10819 . . . . . . 7
43adantl 452 . . . . . 6
54nncnd 9762 . . . . 5
64nnne0d 9790 . . . . 5
72, 5, 6divcld 9536 . . . 4
81, 7fsumcl 12206 . . 3
98abscld 11918 . 2
102abscld 11918 . . . 4
1110, 4nndivred 9794 . . 3
121, 11fsumrecl 12207 . 2
13 fsumharmonic.c . . . 4
141, 13fsumrecl 12207 . . 3
15 fsumharmonic.r . . . . 5
1615simpld 445 . . . 4
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8
1817simpld 445 . . . . . . 7
19 0re 8838 . . . . . . . . 9
2019a1i 10 . . . . . . . 8
21 1re 8837 . . . . . . . . 9
2221a1i 10 . . . . . . . 8
23 0lt1 9296 . . . . . . . . 9
2423a1i 10 . . . . . . . 8
2517simprd 449 . . . . . . . 8
2620, 22, 18, 24, 25ltletrd 8976 . . . . . . 7
2718, 26elrpd 10388 . . . . . 6
2827relogcld 19974 . . . . 5
2928, 22readdcld 8862 . . . 4
3016, 29remulcld 8863 . . 3
321, 7fsumabs 12259 . . 3
332, 5, 6absdivd 11937 . . . . 5
344nnrpd 10389 . . . . . . . 8
3534rprege0d 10397 . . . . . . 7
36 absid 11781 . . . . . . 7
3735, 36syl 15 . . . . . 6
3837oveq2d 5874 . . . . 5
3933, 38eqtrd 2315 . . . 4
4039sumeq2dv 12176 . . 3
4132, 40breqtrd 4047 . 2
42 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10
4342, 27rpdivcld 10407 . . . . . . . . 9
4443rprege0d 10397 . . . . . . . 8
45 flge0nn0 10948 . . . . . . . 8
4644, 45syl 15 . . . . . . 7
4746nn0red 10019 . . . . . 6
4847ltp1d 9687 . . . . 5
49 fzdisj 10817 . . . . 5
5048, 49syl 15 . . . 4
51 nn0p1nn 10003 . . . . . . 7
5246, 51syl 15 . . . . . 6
53 nnuz 10263 . . . . . 6
5452, 53syl6eleq 2373 . . . . 5
5543rpred 10390 . . . . . 6
5642rpred 10390 . . . . . 6
5718, 26jca 518 . . . . . . . . 9
5842rpregt0d 10396 . . . . . . . . 9
59 lediv2 9646 . . . . . . . . 9
6022, 24, 57, 58, 59syl211anc 1188 . . . . . . . 8
6125, 60mpbid 201 . . . . . . 7
6256recnd 8861 . . . . . . . 8
6362div1d 9528 . . . . . . 7
6461, 63breqtrd 4047 . . . . . 6
65 flword2 10943 . . . . . 6
6655, 56, 64, 65syl3anc 1182 . . . . 5
67 fzsplit2 10815 . . . . 5
6854, 66, 67syl2anc 642 . . . 4
6911recnd 8861 . . . 4
7050, 68, 1, 69fsumsplit 12212 . . 3
71 fzfid 11035 . . . . 5
72 ssun1 3338 . . . . . . . 8
7372, 68syl5sseqr 3227 . . . . . . 7
7473sselda 3180 . . . . . 6
7574, 11syldan 456 . . . . 5
7671, 75fsumrecl 12207 . . . 4
77 fzfid 11035 . . . . 5
78 ssun2 3339 . . . . . . . 8
7978, 68syl5sseqr 3227 . . . . . . 7
8079sselda 3180 . . . . . 6
8180, 11syldan 456 . . . . 5
8277, 81fsumrecl 12207 . . . 4
8374, 13syldan 456 . . . . . 6
8471, 83fsumrecl 12207 . . . . 5
85 fznnfl 10966 . . . . . . . . . . 11
8655, 85syl 15 . . . . . . . . . 10
8786simplbda 607 . . . . . . . . 9
8834rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12
8956adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9057adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
91 lemuldiv2 9636 . . . . . . . . . . . 12
9288, 89, 90, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
9318adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9493, 89, 34lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . 11
9592, 94bitr3d 246 . . . . . . . . . 10
9674, 95syldan 456 . . . . . . . . 9
9787, 96mpbid 201 . . . . . . . 8
98 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10
9998ex 423 . . . . . . . . 9
10074, 99syldan 456 . . . . . . . 8
10197, 100mpd 14 . . . . . . 7
10274, 2syldan 456 . . . . . . . . 9
103102abscld 11918 . . . . . . . 8
10474, 3syl 15 . . . . . . . . 9
105104nnrpd 10389 . . . . . . . 8
106103, 83, 105ledivmul2d 10440 . . . . . . 7
107101, 106mpbird 223 . . . . . 6
10871, 75, 83, 107fsumle 12257 . . . . 5
109 fsumharmonic.0 . . . . . 6
1101, 13, 109, 73fsumless 12254 . . . . 5
11176, 84, 14, 108, 110letrd 8973 . . . 4
11280, 3syl 15 . . . . . . . 8
113112nnrecred 9791 . . . . . . 7
11477, 113fsumrecl 12207 . . . . . 6
11516, 114remulcld 8863 . . . . 5
11616adantr 451 . . . . . . . . . 10
117116recnd 8861 . . . . . . . . 9
118112nncnd 9762 . . . . . . . . 9
119112nnne0d 9790 . . . . . . . . 9
120117, 118, 119divrecd 9539 . . . . . . . 8
121116, 112nndivred 9794 . . . . . . . 8
122120, 121eqeltrrd 2358 . . . . . . 7
12380, 10syldan 456 . . . . . . . . 9
12480, 34syldan 456 . . . . . . . . 9
125 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12750eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129125, 128mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . 15
131129, 130sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14
132131con2d 107 . . . . . . . . . . . . 13
133132imp 418 . . . . . . . . . . . 12
13485baibd 875 . . . . . . . . . . . . . . 15
13555, 3, 134syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14
136135, 95bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13
13780, 136syldan 456 . . . . . . . . . . . 12
138133, 137mtbid 291 . . . . . . . . . . 11
13956adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
140139, 112nndivred 9794 . . . . . . . . . . . 12
14118adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
142140, 141ltnled 8966 . . . . . . . . . . 11
143138, 142mpbird 223 . . . . . . . . . 10
144 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12
145144ex 423 . . . . . . . . . . 11
14680, 145syldan 456 . . . . . . . . . 10
147143, 146mpd 14 . . . . . . . . 9
148123, 116, 124, 147lediv1dd 10444 . . . . . . . 8
149148, 120breqtrd 4047 . . . . . . 7
15077, 81, 122, 149fsumle 12257 . . . . . 6
15116recnd 8861 . . . . . . 7
152113recnd 8861 . . . . . . 7
15377, 151, 152fsummulc2 12246 . . . . . 6
154150, 153breqtrrd 4049 . . . . 5
1554nnrecred 9791 . . . . . . . . . . 11
156155recnd 8861 . . . . . . . . . 10
15750, 68, 1, 156fsumsplit 12212 . . . . . . . . 9
158157oveq1d 5873 . . . . . . . 8
159104nnrecred 9791 . . . . . . . . . . 11
16071, 159fsumrecl 12207 . . . . . . . . . 10
161160recnd 8861 . . . . . . . . 9
162114recnd 8861 . . . . . . . . 9
163161, 162pncan2d 9159 . . . . . . . 8
164158, 163eqtrd 2315 . . . . . . 7
1651, 155fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . 11
166165adantr 451 . . . . . . . . . 10
167160adantr 451 . . . . . . . . . 10
168166, 167resubcld 9211 . . . . . . . . 9
16919a1i 10 . . . . . . . . 9
17029adantr 451 . . . . . . . . 9
171 fzfid 11035 . . . . . . . . . . 11
172105adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
173172rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12
174173rpred 10390 . . . . . . . . . . 11
175173rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11
17642adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177176rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15
178 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180178, 179syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15
18156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183 flbi 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184181, 182, 183sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
185177, 180, 184mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14
186185oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
187 fz10 10814 . . . . . . . . . . . . 13
188186, 187syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12
189 0ss 3483 . . . . . . . . . . . . 13
190189a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
191188, 190eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11
192171, 174, 175, 191fsumless 12254 . . . . . . . . . 10
193166, 167suble0d 9363 . . . . . . . . . 10
194192, 193mpbird 223 . . . . . . . . 9
19518, 25logge0d 19981 . . . . . . . . . . 11
196 0le1 9297 . . . . . . . . . . . 12
197196a1i 10 . . . . . . . . . . 11
19828, 22, 195, 197addge0d 9348 . . . . . . . . . 10
199198adantr 451 . . . . . . . . 9
200168, 169, 170, 194, 199letrd 8973 . . . . . . . 8
201 harmonicubnd 20303 . . . . . . . . . . 11
20256, 201sylan 457 . . . . . . . . . 10
203 harmoniclbnd 20302 . . . . . . . . . . . 12
20443, 203syl 15 . . . . . . . . . . 11
205204adantr 451 . . . . . . . . . 10
20642relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13
207 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . 13
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . 12
20943relogcld 19974 . . . . . . . . . . . 12
210 le2sub 9273 . . . . . . . . . . . 12
211165, 160, 208, 209, 210syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11
212211adantr 451 . . . . . . . . . 10
213202, 205, 212mp2and 660 . . . . . . . . 9
214206recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12
21522recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12
21628recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12
217214, 215, 216pnncand 9196 . . . . . . . . . . 11
21842, 27relogdivd 19977 . . . . . . . . . . . 12
219218oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11
220 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12
221 addcom 8998 . . . . . . . . . . . 12
222216, 220, 221sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
223217, 219, 2223eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10
224223adantr 451 . . . . . . . . 9
225213, 224breqtrd 4047 . . . . . . . 8
226200, 225, 56, 22ltlecasei 8928 . . . . . . 7
227164, 226eqbrtrrd 4045 . . . . . 6
228 lemul2a 9611 . . . . . 6
229114, 29, 15, 227, 228syl31anc 1185 . . . . 5
23082, 115, 30, 154, 229letrd 8973 . . . 4
23176, 82, 14, 30, 111, 230le2addd 9390 . . 3
23270, 231eqbrtrd 4043 . 2
2339, 12, 31, 41, 232letrd 8973 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn 9746  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230  crp 10354  cfz 10782  cfl 10924  cabs 11719  csu 12158  clog 19912 This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  20647  mulog2sumlem2  20684 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-em 20287
 Copyright terms: Public domain W3C validator