MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Unicode version

Theorem fsumle 12578
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumle.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 fsumle.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 9465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 fsumle.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
62, 3subge0d 9616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
75, 6mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
81, 4, 7fsumge0 12574 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
92recnd 9114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103recnd 9114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
111, 9, 10fsumsub 12571 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
128, 11breqtrd 4236 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
131, 2fsumrecl 12528 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
141, 3fsumrecl 12528 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
1513, 14subge0d 9616 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
)
1612, 15mpbid 202 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121    - cmin 9291   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  o1fsum  12592  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  mertenslem1  12661  ovoliunlem1  19398  ovolicc2lem4  19416  uniioombllem4  19478  dvfsumle  19905  dvfsumabs  19907  mtest  20320  mtestbdd  20321  abelthlem7  20354  birthdaylem3  20792  fsumharmonic  20850  ftalem1  20855  ftalem5  20859  basellem8  20870  chtleppi  20994  chpub  21004  logfaclbnd  21006  bposlem1  21068  chebbnd1lem1  21163  chtppilimlem1  21167  vmadivsum  21176  rplogsumlem1  21178  rplogsumlem2  21179  rpvmasumlem  21181  dchrisumlem2  21184  dchrmusum2  21188  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem1  21195  dchrisum0fno1  21205  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  mudivsum  21224  mulogsumlem  21225  mulog2sumlem2  21229  vmalogdivsum2  21232  2vmadivsumlem  21234  selberglem2  21240  selbergb  21243  selberg2b  21246  chpdifbndlem1  21247  logdivbnd  21250  selberg3lem1  21251  selberg4lem1  21254  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem5  21275  pntrlog2bndlem6  21277  pntpbnd2  21281  pntlemj  21297  geomcau  26465  stoweidlem11  27736  stoweidlem26  27751  stoweidlem38  27763  stirlinglem12  27810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator