MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Unicode version

Theorem fsumless 12563
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumless.4  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
fsumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 difss 3466 . . . . 5  |-  ( A 
\  C )  C_  A
3 ssfi 7320 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  C ) 
C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  C
)  e.  Fin )
5 eldifi 3461 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  k  e.  A )
6 fsumge0.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  e.  RR )
8 fsumge0.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
95, 8sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  0  <_  B )
104, 7, 9fsumge0 12562 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B )
11 fsumless.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
12 ssfi 7320 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  Fin )
131, 11, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
1411sselda 3340 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  A )
1514, 6syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  RR )
1613, 15fsumrecl 12516 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  e.  RR )
174, 7fsumrecl 12516 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  \  C ) B  e.  RR )
1816, 17addge01d 9603 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B  <->  sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) ) )
1910, 18mpbid 202 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A 
\  C ) B ) )
20 disjdif 3692 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
22 undif 3700 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
2311, 22sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
2423eqcomd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )
256recnd 9103 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2621, 24, 1, 25fsumsplit 12521 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) )
2719, 26breqtrrd 4230 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   RRcr 8978   0cc0 8979    + caddc 8982    <_ cle 9110   sum_csu 12467
This theorem is referenced by:  fsumge1  12564  fsum00  12565  ovolicc2lem4  19404  fsumharmonic  20838  chtwordi  20927  chpwordi  20928  chtlepsi  20978  chtublem  20983  perfectlem2  21002  chtppilimlem1  21155  vmadivsumb  21165  rplogsumlem2  21167  rpvmasumlem  21169  dchrvmasumiflem1  21183  rplogsum  21209  dirith2  21210  mulog2sumlem2  21217  selbergb  21231  selberg2b  21234  chpdifbndlem1  21235  logdivbnd  21238  selberg3lem2  21240  pntrsumbnd  21248  pntlemf  21287  esumpcvgval  24456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468
  Copyright terms: Public domain W3C validator