MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsummulc1 Unicode version

Theorem fsummulc1 12294
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  C )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc1
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsummulc2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 fsummulc2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
41, 2, 3fsummulc2 12293 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
51, 3fsumcl 12253 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
65, 2mulcomd 8901 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  C )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
) )
72adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
83, 7mulcomd 8901 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
98sumeq2dv 12223 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
104, 6, 93eqtr4d 2358 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  C )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   CCcc 8780    x. cmul 8787   sum_csu 12205
This theorem is referenced by:  fsumdivc  12295  fsum2mul  12298  binomlem  12334  geoserg  12371  geo2sum  12376  mertenslem1  12387  plymullem1  19649  aalioulem1  19765  aaliou3lem6  19781  ftalem1  20363  ftalem5  20367  musumsum  20485  muinv  20486  fsumdvdsmul  20488  vmadivsum  20684  dchrisumlem2  20692  dchrmusum2  20696  dchrvmasumiflem2  20704  rpvmasum2  20714  dchrisum0lem1  20718  dchrisum0lem2a  20719  mulogsumlem  20733  mulog2sumlem3  20738  vmalogdivsum  20741  2vmadivsumlem  20742  logsqvma  20744  selberg3lem1  20759  selberg4  20763  pntrlog2bndlem5  20783  csbrn  25611  jm2.23  26237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206
  Copyright terms: Public domain W3C validator