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Theorem fsummulc2 12246
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 9011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 12162 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 12194 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 12162 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 12194 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
1312adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
141adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
15 adddi 8826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( n  +  m ) )  =  ( ( C  x.  n )  +  ( C  x.  m ) ) )
16153expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
1714, 16sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
18 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
19 nnuz 10263 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
25 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
29 fco 5398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3024, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC )
31 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
32 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC 
/\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  e.  CC )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
3528, 31, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
371adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3837, 21mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
4039fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 k )  =  ( C  x.  B
) )
4136, 38, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  B ) )
4222fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4336, 21, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4443oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  B ) )
4541, 44eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 k ) ) )
4645ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
48 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )
49 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( f `  n
)
5048, 49nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )
51 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k C
52 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  x.
53 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  B )
5453, 49nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
5551, 52, 54nfov 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
5650, 55nfeq 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
5958oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) ) ) )
6057, 59eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) ) ) )
6156, 60rspc 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) ) ) )
6235, 47, 61sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
6327ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
64 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
6563, 64sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
66 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6763, 66sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6867oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( C  x.  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
6962, 65, 683eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )
) )
7013, 17, 20, 33, 69seqdistr 11097 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( C  x.  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) ) )
71 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
7238, 39fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
7372adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC )
74 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  e.  CC )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  e.  CC )
7671, 18, 25, 75, 65fsum 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
77 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7823adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8078, 79sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8177, 18, 25, 80, 67fsum 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8281oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( C  x.  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
8370, 76, 823eqtr4rd 2326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
84 sumfc 12182 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
8584oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)
86 sumfc 12182 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)
8783, 85, 863eqtr3g 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
8887expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
8988exlimdv 1664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
9089expimpd 586 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
91 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
92 fz1f1o 12183 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9391, 92syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9411, 90, 93mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   (/)c0 3455    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsummulc1  12247  fsumneg  12249  fsum2mul  12251  incexc2  12297  mertens  12342  eirrlem  12482  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  itg1mulc  19059  elqaalem3  19701  advlogexp  20002  fsumharmonic  20305  basellem8  20325  muinv  20433  fsumdvdsmul  20435  logfaclbnd  20461  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem2  20667  mudivsum  20679  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  logsqvma  20691  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberg  20697  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg34r  20720  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd2  20736  pntlemk  20755  axsegconlem9  23964  ax5seglem1  23967  ax5seglem2  23968  ax5seglem9  23976  fsumkthpow  24202  csbrn  25874  trirn  25875  jm2.22  26500  stoweidlem26  27187  stirlinglem12  27246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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