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Theorem fsummulc2 12559
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 9257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 12475 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 12507 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 12475 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 12507 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
1312adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
141adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
15 adddi 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( n  +  m ) )  =  ( ( C  x.  n )  +  ( C  x.  m ) ) )
16153expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
1714, 16sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
18 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
19 nnuz 10513 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2321, 22fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
25 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
29 fco 5592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3024, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC )
31 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
3230, 31ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3328, 31ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
351adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3635, 21mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
37 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
3837fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 k )  =  ( C  x.  B
) )
3934, 36, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  B ) )
4022fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4134, 21, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4241oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  B ) )
4339, 42eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 k ) ) )
4443ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
46 nffvmpt1 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )
47 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k C
48 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  x.
49 nffvmpt1 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
5047, 48, 49nfov 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
5146, 50nfeq 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
52 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
53 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
5453oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) ) ) )
5552, 54eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) ) ) )
5651, 55rspc 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) ) ) )
5733, 45, 56sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
5827ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
59 fvco3 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
6058, 59sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
61 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6258, 61sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6362oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( C  x.  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
6457, 60, 633eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )
) )
6513, 17, 20, 32, 64seqdistr 11366 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( C  x.  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) ) )
66 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
6736, 37fmptd 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
6867adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC )
6968ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  e.  CC )
7066, 18, 25, 69, 60fsum 12506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
71 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7223adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7471, 18, 25, 73, 62fsum 12506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7574oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( C  x.  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
7665, 70, 753eqtr4rd 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
77 sumfc 12495 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
7877oveq2i 6084 . . . . . 6  |-  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)
79 sumfc 12495 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)
8076, 78, 793eqtr3g 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
8180expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
8281exlimdv 1646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
8382expimpd 587 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
84 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
85 fz1f1o 12496 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8684, 85syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8711, 83, 86mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   (/)c0 3620    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NNcn 9992   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    seq cseq 11315   #chash 11610   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  fsummulc1  12560  fsumneg  12562  fsum2mul  12564  incexc2  12610  mertens  12655  eirrlem  12795  itg1addlem4  19583  itg1addlem5  19584  itg1mulc  19588  elqaalem3  20230  advlogexp  20538  fsumharmonic  20842  basellem8  20862  muinv  20970  fsumdvdsmul  20972  logfaclbnd  20998  dchrsum2  21044  sumdchr2  21046  rplogsumlem2  21171  rpvmasumlem  21173  dchrmusum2  21180  dchrvmasumlem1  21181  dchrvmasum2lem  21182  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumiflem1  21187  rpvmasum2  21198  dchrisum0lem2  21204  mudivsum  21216  mulogsum  21218  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem2  21221  mulog2sumlem3  21222  vmalogdivsum2  21224  logsqvma  21228  selberglem1  21231  selberglem2  21232  selberg  21234  selberg3lem1  21243  selberg4lem1  21246  selberg4  21247  selbergr  21254  selberg3r  21255  selberg34r  21257  pntsval2  21262  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem6  21269  pntpbnd2  21273  pntlemk  21292  binomrisefac  25350  axsegconlem9  25856  ax5seglem1  25859  ax5seglem2  25860  ax5seglem9  25868  fsumkthpow  26094  csbrn  26447  trirn  26448  jm2.22  27057  stoweidlem26  27742  stirlinglem12  27801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
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