MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Unicode version

Theorem fsump1i 12558
Description: Optimized version of fsump1 12545 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsump1i.2  |-  N  =  ( K  +  1 )
fsump1i.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
fsump1i.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
fsump1i.5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
fsump1i.6  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
Assertion
Ref Expression
fsump1i  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    S( k)    T( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3  |-  N  =  ( K  +  1 )
2 fsump1i.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
32simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
4 fsump1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleq 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 peano2uz 10535 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76, 4syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
91, 8syl5eqel 2522 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
101oveq2i 6095 . . . . 5  |-  ( M ... N )  =  ( M ... ( K  +  1 ) )
1110sumeq1i 12497 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A
12 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 4syl6eleqr 2529 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  Z )
14 fsump1i.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
1513, 14sylan2 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
161eqeq2i 2448 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  <->  k  =  ( K  +  1
) )
17 fsump1i.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
1816, 17sylbir 206 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  + 
1 )  ->  A  =  B )
195, 15, 18fsump1 12545 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
2011, 19syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
212simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S )
2221oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B )  =  ( S  +  B ) )
23 fsump1i.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
2420, 22, 233eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T )
259, 24jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996    + caddc 8998   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   sum_csu 12484
This theorem is referenced by:  itgcnlem  19684  vieta1  20234  ipval2  22208  subfacval2  24878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator