MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Unicode version

Theorem fsump1i 12516
Description: Optimized version of fsump1 12503 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsump1i.2  |-  N  =  ( K  +  1 )
fsump1i.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
fsump1i.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
fsump1i.5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
fsump1i.6  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
Assertion
Ref Expression
fsump1i  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    S( k)    T( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3  |-  N  =  ( K  +  1 )
2 fsump1i.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
32simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
4 fsump1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleq 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 peano2uz 10494 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76, 4syl6eleqr 2503 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
91, 8syl5eqel 2496 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
101oveq2i 6059 . . . . 5  |-  ( M ... N )  =  ( M ... ( K  +  1 ) )
1110sumeq1i 12455 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A
12 elfzuz 11019 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 4syl6eleqr 2503 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  Z )
14 fsump1i.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
1513, 14sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
161eqeq2i 2422 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  <->  k  =  ( K  +  1
) )
17 fsump1i.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
1816, 17sylbir 205 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  + 
1 )  ->  A  =  B )
195, 15, 18fsump1 12503 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
2011, 19syl5eq 2456 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
212simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S )
2221oveq1d 6063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B )  =  ( S  +  B ) )
23 fsump1i.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
2420, 22, 233eqtrd 2448 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T )
259, 24jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   1c1 8955    + caddc 8957   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   sum_csu 12442
This theorem is referenced by:  itgcnlem  19642  vieta1  20190  ipval2  22164  subfacval2  24834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443
  Copyright terms: Public domain W3C validator