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Theorem fsumparts 12264
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
fsumparts.c  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
fsumparts.d  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
fsumparts.e  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
fsumparts.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumparts.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumparts.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumparts  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    D, k   
k, E    j, V    k, W    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)    V( k)    W( j)    X( j)    Y( j)    Z( j)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 12194 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  0
2 0cn 8831 . . . . 5  |-  0  e.  CC
32subidi 9117 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
41, 3eqtr4i 2306 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( 0  -  0 )
5 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  N  =  M )
65oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
7 fzo0 10893 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
86, 7syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
98sumeq1d 12174 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) ) )
10 fsumparts.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 eluzfz1 10803 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
13 eqtr3 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  k  =  N )
14 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
15 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  E  /\  V  =  Z )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
17 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
18 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  D  /\  V  =  Y )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( D  x.  Y ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
2116, 20eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V )  <-> 
( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) ) )
2221pm5.74da 668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )  <->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) ) )
23 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )
2422, 23vtoclg 2843 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) )
2524imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( M ... N )  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) )
2612, 25sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) )
2726oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y
) ) )
28 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2928ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
3017simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
3130eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
3231rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
3312, 29, 32sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
3534ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC )
3617simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  V  =  Y )
3736eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( V  e.  CC  <->  Y  e.  CC ) )
3837rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  ->  Y  e.  CC ) )
3912, 35, 38sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
4033, 39mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  Y
)  e.  CC )
4140subidd 9145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y )
)  =  0 )
4241adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( D  x.  Y
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
4327, 42eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
448sumeq1d 12174 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X ) )
45 sum0 12194 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  0
4644, 45syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  0 )
4743, 46oveq12d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y )
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
) )  =  ( 0  -  0 ) )
484, 9, 473eqtr4a 2341 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
49 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
50 eluzel2 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
5110, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
53 fzp1ss 10837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
5554sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
5628, 34mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5756adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5855, 57syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5914, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  x.  V )  =  ( E  x.  Z ) )
6049, 58, 59fsumm1 12216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
61 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6210, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
64 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
6652zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
67 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
68 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
6966, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )  -  1 )  =  M )
7069oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
7165, 70eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
7271sumeq1d 12174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( C  x.  X ) )
73 1z 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
7473a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
7552peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
76 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
77 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  C  /\  V  =  X )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( C  x.  X ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  x.  V )  =  ( C  x.  X ) )
7974, 75, 63, 58, 78fsumshftm 12243 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  sum_ j  e.  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( C  x.  X ) )
8072, 79eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V ) )
81 fzoval 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8263, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8382sumeq1d 12174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
8483oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
8560, 80, 843eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) ) )
86 fzofi 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin
8786a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin )
88 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
89 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9052, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
91 fzoss1 10896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
9392sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
94 elfzofz 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
9594, 56sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9695adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9793, 96syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9887, 97fsumcl 12206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  e.  CC )
99 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
10010, 99syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
10114simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
102101eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
103102rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
104100, 29, 103sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
10514simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  N  ->  V  =  Z )
106105eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( V  e.  CC  <->  Z  e.  CC ) )
107106rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  ->  Z  e.  CC ) )
108100, 35, 107sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
109104, 108mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  Z
)  e.  CC )
110109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( E  x.  Z )  e.  CC )
11198, 110addcomd 9014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  ( ( E  x.  Z
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
11285, 111eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
113112oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
114 fzofzp1 10916 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
11576simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
116115eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
117116rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
11829, 114, 117syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
119 elfzofz 10889 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
120 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
121120simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
122121eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
123122rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
12429, 119, 123syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
12576simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  V  =  X )
126125eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( V  e.  CC  <->  X  e.  CC ) )
127126rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  X  e.  CC )
12835, 114, 127syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
129118, 124, 128subdird 9236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
130129sumeq2dv 12176 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
131 fzofi 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
132131a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
133118, 128mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( C  x.  X )  e.  CC )
134124, 128mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  X )  e.  CC )
135132, 133, 134fsumsub 12250 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
136130, 135eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
137136adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) ) )
138132, 134fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  e.  CC )
139138adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  e.  CC )
140110, 139, 98subsub3d 9187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  + 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
141113, 137, 1403eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) ) )
142141oveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) ) )
14340adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  x.  Y )  e.  CC )
144139, 98subcld 9157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  e.  CC )
145110, 143, 144nnncan1d 9191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) )  -  ( D  x.  Y )
) )
14698, 143addcomd 9014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
147 eluzp1m1 10251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
14851, 147sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
14965eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( M..^ N )  <-> 
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
150149biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
151150, 96syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
152148, 151, 19fsum1p 12218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) ) )
15365sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
15483oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
) ) )
155152, 153, 1543eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
156146, 155eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V ) )
157 oveq12 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  B  /\  V  =  W )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( B  x.  W ) )
158120, 157syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  x.  V )  =  ( B  x.  W ) )
159158cbvsumv 12169 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
)
160156, 159syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) )
161160oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
162139, 98, 143subsub4d 9188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  +  ( D  x.  Y ) ) ) )
163120simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  V  =  W )
164163eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( V  e.  CC  <->  W  e.  CC ) )
165164rspccva 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  W  e.  CC )
16635, 119, 165syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  W  e.  CC )
167124, 128, 166subdid 9235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
168167sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
169124, 166mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  W )  e.  CC )
170132, 134, 169fsumsub 12250 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
171168, 170eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
172171adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) ) )
173161, 162, 1723eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  = 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) ) )
174142, 145, 1733eqtrrd 2320 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
175 uzp1 10261 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
17610, 175syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
17748, 174, 176mpjaodan 761 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20639  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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