MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Unicode version

Theorem fsumrecl 12223
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8810 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 8836 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0re 8854 . . 3  |-  0  e.  RR
87a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
92, 4, 5, 6, 8fsumcllem 12221 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsumless  12270  fsumle  12273  fsumlt  12274  fsumabs  12275  o1fsum  12287  isumltss  12323  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  mertenslem1  12356  rpnnen2lem10  12518  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  lebnumlem1  18475  ovolfiniun  18876  ovoliunlem1  18877  ovolscalem1  18888  ovolicc2lem4  18895  volfiniun  18920  uniioombllem3a  18955  uniioombllem4  18957  i1fd  19052  itg1cl  19056  i1fadd  19066  i1fmul  19067  dvfsumge  19385  dvfsumabs  19386  dvfsumrlimf  19388  dvfsumlem2  19390  dvfsumlem3  19391  dvfsumlem4  19392  dvfsum2  19397  aaliou3lem5  19743  mtest  19797  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  log2ublem2  20259  log2ub  20261  birthdaylem3  20264  emcllem1  20305  emcllem2  20306  emcllem3  20307  harmoniclbnd  20318  harmonicubnd  20319  harmonicbnd4  20320  fsumharmonic  20321  ftalem1  20326  ftalem4  20329  ftalem5  20330  chtf  20362  chpf  20377  chpub  20475  logfaclbnd  20477  logexprlim  20480  chtppilimlem1  20638  vmadivsum  20647  vmadivsumb  20648  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem2  20655  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0ff  20672  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  rplogsum  20692  dirith2  20693  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  vmalogdivsum2  20703  vmalogdivsum  20704  2vmadivsumlem  20705  logsqvma2  20708  log2sumbnd  20709  selberglem2  20711  selberg  20713  selbergb  20714  selberg2b  20717  chpdifbndlem1  20718  logdivbnd  20721  selberg3lem1  20722  selberg3lem2  20723  selberg3  20724  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd  20731  pntrsumbnd2  20732  selberg3r  20734  selberg4r  20735  selberg34r  20736  pntsf  20738  pntsval2  20741  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemk  20771  pntlemo  20772  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  axsegconlem2  24618  ax5seglem3  24631  ax5seg  24638  csbrn  26565  trirn  26566  mettrifi  26576  geomcau  26578  rrnmet  26656  rrndstprj1  26657  rrndstprj2  26658  refsumcn  27804  stoweidlem11  27863  stoweidlem17  27869  stoweidlem20  27872  stoweidlem26  27878  stoweidlem30  27882  stoweidlem32  27884  stoweidlem38  27890  stoweidlem44  27896  stirlinglem12  27937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator