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Theorem fsumrelem 12617
Description: Lemma for fsumre 12618, fsumim 12619, and fsumcj 12620. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumrelem.3  |-  F : CC
--> CC
fsumrelem.4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fsumrelem  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    x, B, y    k, F, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9115 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9  |-  F : CC
--> CC
32ffvelrni 5898 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
41, 3ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  e.  CC
54addid1i 9284 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  +  0 )  =  ( F `  0
)
6 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  y )  =  ( 0  +  y ) )
76fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( F `  ( 0  +  y ) ) )
8 fveq2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
98oveq1d 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( ( F `  0
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
11 oveq2 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  ( 0  +  0 ) )
12 00id 9272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1311, 12syl6eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  0 )
1413fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( F ` 
0 ) )
15 fveq2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
0 ) )
1615oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  0
) ) )
1714, 16eqeq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  (
0  +  y ) )  =  ( ( F `  0 )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) ) ) )
18 fsumrelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
1910, 17, 18vtocl2ga 3025 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  =  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) ) )
201, 1, 19mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) )
215, 20eqtr2i 2463 . . . . 5  |-  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) )  =  ( ( F ` 
0 )  +  0 )
224, 4, 1addcani 9290 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  0
)  +  ( F `
 0 ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  0 )  <->  ( F `  0 )  =  0 )
2321, 22mpbi 201 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  0
24 sumeq1 12514 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
25 sum0 12546 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2624, 25syl6eq 2490 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
2726fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  ( F `  0 ) )
28 sumeq1 12514 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `
 B ) )
29 sum0 12546 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )  =  0
3028, 29syl6eq 2490 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  0 )
3123, 27, 303eqtr4a 2500 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
)
3231a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
33 addcl 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3433adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
35 fsumre.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
36 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
3735, 36fmptd 5922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3837adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
39 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
40 f1of 5703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
42 fco 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
4338, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
4443ffvelrnda 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
45 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
46 nnuz 10552 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4745, 46syl6eleq 2532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4818adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( ( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
4941ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  x
)  e.  A )
50 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
5136fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5250, 35, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5352fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 B ) )
54 fvex 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 B )  e. 
_V
55 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5655fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( F `  B )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  =  ( F `  B ) )
5750, 54, 56sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( F `
 B ) )
5853, 57eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
5958ralrimiva 2795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
6059ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
61 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k F
62 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) )
6361, 62nffv 5764 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
64 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) )
6563, 64nfeq 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
)
66 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
6766fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  x ) ) ) )
68 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
6967, 68eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  <->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7065, 69rspc 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  ->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7149, 60, 70sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
72 fvco3 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7341, 72sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7473fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) ) )
75 fvco3 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
7641, 75sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
7771, 74, 763eqtr4d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )  o.  f ) `  x
) )
7834, 44, 47, 48, 77seqhomo 11401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  (  seq  1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )
79 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
8038ffvelrnda 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8179, 45, 39, 80, 73fsum 12545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8281fveq2d 5761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( F `  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
83 fveq2 5757 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
842ffvelrni 5898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  CC  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8535, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8685, 55fmptd 5922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
8786adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC )
8887ffvelrnda 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  e.  CC )
8983, 45, 39, 88, 76fsum 12545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9078, 82, 893eqtr4d 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m ) )
91 sumfc 12534 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
9291fveq2i 5760 . . . . . 6  |-  ( F `
 sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)
93 sumfc 12534 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
9490, 92, 933eqtr3g 2497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
9594expr 600 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
9695exlimdv 1647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
9796expimpd 588 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
98 fsumre.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
99 fz1f1o 12535 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10098, 99syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10132, 97, 100mpjaod 372 1  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962   (/)c0 3613    e. cmpt 4291    o. ccom 4911   -->wf 5479   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   CCcc 9019   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024   NNcn 10031   ZZ>=cuz 10519   ...cfz 11074    seq cseq 11354   #chash 11649   sum_csu 12510
This theorem is referenced by:  fsumre  12618  fsumim  12619  fsumcj  12620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511
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