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Theorem fsumrelem 12281
Description: Lemma for fsumre 12282, fsumim 12283, and fsumcj 12284. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumrelem.3  |-  F : CC
--> CC
fsumrelem.4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fsumrelem  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    x, B, y    k, F, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 8847 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9  |-  F : CC
--> CC
32ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  e.  CC
54addid1i 9015 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  +  0 )  =  ( F `  0
)
6 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  y )  =  ( 0  +  y ) )
76fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( F `  ( 0  +  y ) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
98oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( ( F `  0
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  ( 0  +  0 ) )
12 00id 9003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1311, 12syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  0 )
1413fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( F ` 
0 ) )
15 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
0 ) )
1615oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  0
) ) )
1714, 16eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  (
0  +  y ) )  =  ( ( F `  0 )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) ) ) )
18 fsumrelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
1910, 17, 18vtocl2ga 2864 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  =  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) ) )
201, 1, 19mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) )
215, 20eqtr2i 2317 . . . . 5  |-  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) )  =  ( ( F ` 
0 )  +  0 )
224, 4, 1addcani 9021 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  0
)  +  ( F `
 0 ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  0 )  <->  ( F `  0 )  =  0 )
2321, 22mpbi 199 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  0
24 sumeq1 12178 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
25 sum0 12210 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2624, 25syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
2726fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  ( F `  0 ) )
28 sumeq1 12178 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `
 B ) )
29 sum0 12210 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )  =  0
3028, 29syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  0 )
3123, 27, 303eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
)
3231a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
33 addcl 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3433adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
35 fsumre.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
36 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
3735, 36fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
39 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
40 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
42 fco 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
4338, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x )  e.  CC )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
46 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
47 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4846, 47syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4918adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( ( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
50 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  x
)  e.  A )
5141, 50sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  x
)  e.  A )
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
5336fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5452, 35, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 B ) )
56 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 B )  e. 
_V
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5857fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( F `  B )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  =  ( F `  B ) )
5952, 56, 58sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( F `
 B ) )
6055, 59eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
6160ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k F
64 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  B )
65 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( f `  x
)
6664, 65nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) )
6763, 66nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
68 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) )
6968, 65nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) )
7067, 69nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
)
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
7271fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  x ) ) ) )
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
7472, 73eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  <->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7570, 74rspc 2891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  ->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7651, 62, 75sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
77 fvco3 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7841, 77sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7978fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) ) )
80 fvco3 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
8141, 80sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
8276, 79, 813eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )  o.  f ) `  x
) )
8334, 45, 48, 49, 82seqhomo 11109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  (  seq  1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )
84 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
85 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8638, 85sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8784, 46, 39, 86, 78fsum 12209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8887fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( F `  (  seq  1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
89 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
902ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  CC  ->  ( F `  B )  e.  CC )
9135, 90syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
9291, 57fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
9392adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC )
94 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  e.  CC )
9593, 94sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  e.  CC )
9689, 46, 39, 95, 81fsum 12209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9783, 88, 963eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m ) )
98 sumfc 12198 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
9998fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( F `
 sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)
100 sumfc 12198 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
10197, 99, 1003eqtr3g 2351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
102101expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
103102exlimdv 1626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
104103expimpd 586 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
105 fsumre.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
106 fz1f1o 12199 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
107105, 106syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10832, 104, 107mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   #chash 11353   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsumre  12282  fsumim  12283  fsumcj  12284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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