MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrlim Structured version   Unicode version

Theorem fsumrlim 12582
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that  C ( k ) is a collection of functions with implicit parameter  k, each of which converges to  D ( k ) as  n  ~~>  +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumrlim.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumrlim.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumrlim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
Assertion
Ref Expression
fsumrlim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    D( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumrlim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12475 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12507 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 sumeq1 12475 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  (/)  D )
9 sum0 12507 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  D  =  0
108, 9syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  = 
0 )
117, 10breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
123, 11imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) ) )
14 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
15 sumeq1 12475 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1615mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
17 sumeq1 12475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  y  D )
1816, 17breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
1914, 18imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) ) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
) ) )
21 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
22 sumeq1 12475 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
2322mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
24 sumeq1 12475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
2523, 24breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
2621, 25imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
28 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
29 sumeq1 12475 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
3029mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
31 sumeq1 12475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  B  D
)
3230, 31breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
)
3328, 32imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
) ) )
35 fsumrlim.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 0cn 9076 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
37 rlimconst 12330 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3835, 36, 37sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3938a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
40 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
41 sstr 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
4240, 41mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
4342imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
44 sumex 12473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V )
46 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
4746unssbd 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
48 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
4948snss 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
5047, 49sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
52 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5352anass1rs 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
54 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
5553, 54rlimmptrcl 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5655an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5756adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5857ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
59 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6059nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
61 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
6261eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
6360, 62rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
6451, 58, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6564ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC )
67 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
6867nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC
69 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
7069eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7168, 70rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7266, 71mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
73 elex 2956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
75 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  C
76 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
y
77 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
7876, 77nfsum 12477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
79 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
8079sumeq2sdv 12490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
)
8175, 78, 80cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  =  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C )
82 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
8381, 82syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)
84 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ C
8584, 67, 69cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
8654ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
88 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k A
8988, 59nfmpt 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
90 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  ~~> r
91 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ D
9289, 90, 91nfbr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
9361mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
94 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  D  =  [_ z  /  k ]_ D )
9593, 94breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9692, 95rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9750, 87, 96sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9985, 98syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10045, 74, 83, 99rlimadd 12428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) )  ~~> r  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
101 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
102 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
103101, 102sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
105 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
1062adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
107 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
108106, 46, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
11046sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
111110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
112111, 57syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
113104, 105, 109, 112fsumsplit 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
114 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
115 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
116 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
117114, 115, 116cbvsumi 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
118 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
119118sumsn 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
12051, 64, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
121117, 120syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
122121oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
123113, 122eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
124123mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
126 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
)
127 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  +
12878, 127, 67nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
12980, 69oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
130126, 128, 129cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
131125, 130syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) ) )
132 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
133 rlimcl 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
13454, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
135134adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
136110, 135syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  D  e.  CC )
137103, 132, 108, 136fsumsplit 12525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
) )
138 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w D
139 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ D
140 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  w  ->  D  =  [_ w  /  k ]_ D )
141138, 139, 140cbvsumi 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  { z } D  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ D
142135ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  D  e.  CC )
14391nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ D  e.  CC
14494eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( D  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ D  e.  CC ) )
145143, 144rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  D  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
)
14650, 142, 145sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
147 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D )
148147sumsn 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
14950, 146, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
150141, 149syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  { z } D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
151150oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
)  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
152137, 151eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
153152adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
154100, 131, 1533brtr4d 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
155154ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
156155expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D ) ) )
157156a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
15843, 157syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
159158expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
160159a2d 24 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
161160adantl 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
16213, 20, 27, 34, 39, 161findcard2s 7341 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
1632, 162mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) )
1641, 163mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   [_csb 3243    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    ~~> r crli 12271   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  climfsum  12591  logexprlim  21001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator