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Theorem fsumrlim 12285
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that  C ( k ) is a collection of functions with implicit parameter  k, each of which converges to  D ( k ) as  n  ~~>  +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumrlim.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumrlim.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumrlim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
Assertion
Ref Expression
fsumrlim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    D( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumrlim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12178 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12210 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  (/)  D )
9 sum0 12210 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  D  =  0
108, 9syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  = 
0 )
117, 10breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
123, 11imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) )
1312imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) ) )
14 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
15 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1615mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
17 sumeq1 12178 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  y  D )
1816, 17breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
1914, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) ) )
2019imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
) ) )
21 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
22 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
2322mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
24 sumeq1 12178 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
2523, 24breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
2621, 25imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
2726imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
28 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
29 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
3029mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
31 sumeq1 12178 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  B  D
)
3230, 31breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
)
3328, 32imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
3433imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
) ) )
35 fsumrlim.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 0cn 8847 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
37 rlimconst 12034 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3835, 36, 37sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3938a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
40 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
41 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
4240, 41mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
4342imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
44 sumex 12176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V )
46 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
4846, 47syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
5049snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
5148, 50sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
53 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5453anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
55 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
5654, 55rlimmptrcl 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5756an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5857adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5958ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
60 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6160nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
62 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
6362eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
6461, 63rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
6552, 59, 64sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6665ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC )
68 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
6968nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC
70 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
7170eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7269, 71rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7367, 72mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
74 elex 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
76 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  C
77 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
y
78 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
7977, 78nfsum 12180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
80 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
8180sumeq2sdv 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
)
8276, 79, 81cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  =  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C )
83 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
8482, 83syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)
85 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ C
8685, 68, 70cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
8755ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
89 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k A
9089, 60nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
91 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  ~~> r
92 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ D
9390, 91, 92nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
9462mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
95 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  D  =  [_ z  /  k ]_ D )
9694, 95breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9793, 96rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9851, 88, 97sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10086, 99syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10145, 75, 84, 100rlimadd 12132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) )  ~~> r  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
102 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
103 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
104102, 103sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
106 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
1072adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
108 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
109107, 47, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
11147sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
112111adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
113112, 58syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
114105, 106, 110, 113fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
115 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
116 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
117 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
118115, 116, 117cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
119 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
120119sumsn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
12152, 65, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
122118, 121syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
123122oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
124114, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
125124mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
127 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
)
128 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  +
12979, 128, 68nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
13081, 70oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
131127, 129, 130cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
132126, 131syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) ) )
133 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
134 rlimcl 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
13555, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
136135adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
137111, 136syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  D  e.  CC )
138104, 133, 109, 137fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
) )
139 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w D
140 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ D
141 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  w  ->  D  =  [_ w  /  k ]_ D )
142139, 140, 141cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  { z } D  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ D
143136ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  D  e.  CC )
14492nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ D  e.  CC
14595eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( D  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ D  e.  CC ) )
146144, 145rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  D  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
)
14751, 143, 146sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
148 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D )
149148sumsn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
15051, 147, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
151142, 150syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  { z } D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
)  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
153138, 152eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
155101, 132, 1543brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
156155ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
157156expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D ) ) )
158157a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
15943, 158syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
160159expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
161160a2d 23 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
162161adantl 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
16313, 20, 27, 34, 39, 162findcard2s 7115 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
1642, 163mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) )
1651, 164mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    ~~> r crli 11975   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  climfsum  12294  logexprlim  20480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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