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Theorem fsumrlim 12510
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that  C ( k ) is a collection of functions with implicit parameter  k, each of which converges to  D ( k ) as  n  ~~>  +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumrlim.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumrlim.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumrlim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
Assertion
Ref Expression
fsumrlim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    D( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3303 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumrlim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12403 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12435 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2428 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 sumeq1 12403 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  (/)  D )
9 sum0 12435 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  D  =  0
108, 9syl6eq 2428 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  = 
0 )
117, 10breq12d 4159 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
123, 11imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) ) )
14 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
15 sumeq1 12403 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1615mpteq2dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
17 sumeq1 12403 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  y  D )
1816, 17breq12d 4159 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
1914, 18imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) ) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
) ) )
21 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
22 sumeq1 12403 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
2322mpteq2dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
24 sumeq1 12403 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
2523, 24breq12d 4159 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
2621, 25imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
28 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
29 sumeq1 12403 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
3029mpteq2dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
31 sumeq1 12403 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  B  D
)
3230, 31breq12d 4159 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
)
3328, 32imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
) ) )
35 fsumrlim.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 0cn 9010 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
37 rlimconst 12258 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3835, 36, 37sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3938a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
40 ssun1 3446 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
41 sstr 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
4240, 41mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
4342imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
44 sumex 12401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V )
46 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
4746unssbd 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
48 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
4948snss 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
5047, 49sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
52 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5352anass1rs 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
54 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
5553, 54rlimmptrcl 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5655an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5756adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5857ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
59 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6059nfel1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
61 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
6261eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
6360, 62rspc 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
6451, 58, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6564ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC )
67 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
6867nfel1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC
69 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
7069eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7168, 70rspc 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7266, 71mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
73 elex 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
75 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  C
76 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
y
77 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
7876, 77nfsum 12405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
79 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
8079sumeq2sdv 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
)
8175, 78, 80cbvmpt 4233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  =  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C )
82 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
8381, 82syl5eqbrr 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)
84 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ C
8584, 67, 69cbvmpt 4233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
8654ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
88 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k A
8988, 59nfmpt 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
90 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  ~~> r
91 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ D
9289, 90, 91nfbr 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
9361mpteq2dv 4230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
94 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  D  =  [_ z  /  k ]_ D )
9593, 94breq12d 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9692, 95rspc 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9750, 87, 96sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9985, 98syl5eqbrr 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10045, 74, 83, 99rlimadd 12356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) )  ~~> r  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
101 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
102 disjsn 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
103101, 102sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
105 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
1062adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
107 ssfi 7258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
108106, 46, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
11046sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
111110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
112111, 57syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
113104, 105, 109, 112fsumsplit 12453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
114 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
115 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
116 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
117114, 115, 116cbvsumi 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
118 csbeq1 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
119118sumsn 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
12051, 64, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
121117, 120syl5eq 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
122121oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
123113, 122eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
124123mpteq2dva 4229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
126 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
)
127 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  +
12878, 127, 67nfov 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
12980, 69oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
130126, 128, 129cbvmpt 4233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
131125, 130syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) ) )
132 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
133 rlimcl 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
13454, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
135134adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
136110, 135syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  D  e.  CC )
137103, 132, 108, 136fsumsplit 12453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
) )
138 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w D
139 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ D
140 csbeq1a 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  w  ->  D  =  [_ w  /  k ]_ D )
141138, 139, 140cbvsumi 12411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  { z } D  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ D
142135ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  D  e.  CC )
14391nfel1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ D  e.  CC
14494eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( D  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ D  e.  CC ) )
145143, 144rspc 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  D  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
)
14650, 142, 145sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
147 csbeq1 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D )
148147sumsn 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
14950, 146, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
150141, 149syl5eq 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  { z } D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
151150oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
)  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
152137, 151eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
153152adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
154100, 131, 1533brtr4d 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
155154ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
156155expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D ) ) )
157156a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
15843, 157syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
159158expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
160159a2d 24 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
161160adantl 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
16213, 20, 27, 34, 39, 161findcard2s 7278 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
1632, 162mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) )
1641, 163mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892   [_csb 3187    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    + caddc 8919    ~~> r crli 12199   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  climfsum  12519  logexprlim  20869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400
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