MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsers Unicode version

Theorem fsumsers 12217
Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumsers  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  M (  +  ,  F
) `  N )
)
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumsers
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 fsumsers.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzel2 10251 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 fsumsers.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
6 fzssuz 10848 . . . 4  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
8 fsumsers.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9 fsumsers.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
101, 4, 7, 8, 9zsum 12207 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
11 fclim 12043 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
12 ffun 5407 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ~~>
148, 2, 9, 5fsumcvg2 12216 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
15 funbrfv 5577 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 N )  -> 
(  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
1613, 14, 15mpsyl 59 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
1710, 16eqtrd 2328 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  M (  +  ,  F
) `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsumser  12219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator