MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsers Unicode version

Theorem fsumsers 12201
Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumsers  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  M (  +  ,  F
) `  N )
)
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumsers
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 fsumsers.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzel2 10235 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 fsumsers.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
6 fzssuz 10832 . . . 4  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6ss 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
8 fsumsers.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9 fsumsers.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
101, 4, 7, 8, 9zsum 12191 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
11 fclim 12027 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
12 ffun 5391 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ~~>
148, 2, 9, 5fsumcvg2 12200 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
15 funbrfv 5561 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 N )  -> 
(  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
1613, 14, 15mpsyl 59 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
1710, 16eqtrd 2315 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq  M (  +  ,  F
) `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumser  12203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator