Theorem fsumshftm 7032

Description: Negative index shift of a finite sum.

Assertion

Ref	Expression
fsumshftm	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)

Distinct variable groups:   A,k   j,k,K   j,M,k   j,N,k

Proof of Theorem fsumshftm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumshft 7031	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ -uK e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A)
2		znegclt 6165	. . 3 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
3	1, 2	syl3an2 862	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A)
4		negsubt 5394	. . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ K e. CC) -> (M + -uK) = (M - K))
5	4	3adant2 800	. . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (M + -uK) = (M - K))
6		negsubt 5394	. . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> (N + -uK) = (N - K))
7	6	3adant1 799	. . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (N + -uK) = (N - K))
8	5, 7	opreq12d 3984	. . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
9		zcnt 6142	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
10		zcnt 6142	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
11		zcnt 6142	. . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
12	8, 9, 10, 11	syl3an 870	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
13	12	3expa 835	. . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
14		eluzel2 6425	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
15		eluzelz 6424	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
16	14, 15	jca 288	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
17	13, 16	sylan 450	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
18		subnegt 5406	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. CC /\ K e. CC) -> (k - -uK) = (k + K))
19	18	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> (k - -uK) = (k + K))
20		zcnt 6142	. . . . . . . . . 10 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
21	19, 11, 20	syl2an 456	. . . . . . . . 9 |- ((K e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (k - -uK) = (k + K))
22	21	ex 373	. . . . . . . 8 |- (K e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k - -uK) = (k + K)))
23		csbeq1 2006	. . . . . . . 8 |- ((k - -uK) = (k + K) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
24	22, 23	syl6 22	. . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> (k e. ZZ -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A))
25		elfzelz 6483	. . . . . . 7 |- (k e. ((M + -uK)...(N + -uK)) -> k e. ZZ)
26	24, 25	syl5 21	. . . . . 6 |- (K e. ZZ -> (k e. ((M + -uK)...(N + -uK)) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A))
27	26	imp 350	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ k e. ((M + -uK)...(N + -uK))) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
28	27	adantll 394	. . . 4 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) /\ k e. ((M + -uK)...(N + -uK))) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
29	17, 28	sumeq12dv 6995	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) -> sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)
30	29	3adant3 801	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)
31	3, 30	eqtrd 1510	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  [_csb 2004  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  sum_csu 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain