MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Unicode version

Theorem fsumsplit 12496
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 3478 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 fsumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
31, 2syl5sseqr 3365 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
43sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
5 fsumsplit.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
64, 5syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
76ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
8 fsumsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
98olcd 383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)
10 sumss2 12483 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
113, 7, 9, 10syl21anc 1183 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
12 ssun2 3479 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1312, 2syl5sseqr 3365 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
1413sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
1514, 5syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1615ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
17 sumss2 12483 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  U  /\  A. k  e.  B  C  e.  CC )  /\  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
1813, 16, 9, 17syl21anc 1183 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
1911, 18oveq12d 6066 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
20 0cn 9048 . . . 4  |-  0  e.  CC
21 ifcl 3743 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
225, 20, 21sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
23 ifcl 3743 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
245, 20, 23sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
258, 22, 24fsumadd 12495 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
262eleq2d 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
27 elun 3456 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
2826, 27syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
2928biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
30 iftrue 3713 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
3130adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
32 noel 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
33 elin 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
34 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
3534eleq2d 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
3633, 35syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
3732, 36mtbii 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
38 imnan 412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
3937, 38sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4039imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
41 iffalse 3714 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4331, 42oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
446addid1d 9230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
4543, 44eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
4639con2d 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
4746imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
48 iffalse 3714 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
50 iftrue 3713 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
5150adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
5249, 51oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
5315addid2d 9231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
0  +  C )  =  C )
5452, 53eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
5545, 54jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  C )
5629, 55syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
5756sumeq2dv 12460 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  sum_ k  e.  U  C )
5819, 25, 573eqtr2rd 2451 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ifcif 3707   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   CCcc 8952   0cc0 8954    + caddc 8957   ZZ>=cuz 10452   sum_csu 12442
This theorem is referenced by:  fsumm1  12500  fsum1p  12502  fsum2dlem  12517  fsumless  12538  fsumabs  12543  fsumrlim  12553  fsumo1  12554  o1fsum  12555  cvgcmpce  12560  fsumiun  12563  incexclem  12579  incexc  12580  isumltss  12591  climcndslem1  12592  climcndslem2  12593  mertenslem1  12624  bitsinv1  12917  bitsinvp1  12924  sylow2a  15216  fsumcn  18861  ovolfiniun  19358  volfiniun  19402  uniioombllem3  19438  itgfsum  19679  dvmptfsum  19820  vieta1lem2  20189  mtest  20281  birthdaylem2  20752  fsumharmonic  20811  ftalem5  20820  chtprm  20897  chtdif  20902  perfectlem2  20975  lgsquadlem2  21100  dchrisumlem1  21144  dchrisumlem2  21145  rpvmasum2  21167  dchrisum0lem1b  21170  dchrisum0lem3  21174  pntrsumbnd2  21222  pntrlog2bndlem6  21238  pntpbnd2  21242  pntlemf  21260  sumpr  24179  axlowdimlem16  25808  axlowdimlem17  25809  jm2.22  26964  jm2.23  26965  sumpair  27581  stoweidlem11  27635  stoweidlem26  27650  stoweidlem44  27668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443
  Copyright terms: Public domain W3C validator