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Theorem fsumss 12198
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumss
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumss.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  C_  B
)
3 sumss.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 sumss.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
65adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  ( B  \  A
) )  ->  C  =  0 )
7 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
8 0ss 3483 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ( ZZ>=
`  0 )
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  (/)  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
107, 9eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
112, 4, 6, 10sumss 12197 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1211ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
13 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
14 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B )
15 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) --> B )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B )
17 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  ->  dom  f  =  (
1 ... ( # `  B
) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
1913, 18syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
20 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
2116, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f  Fn  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
22 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
2516, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
2625ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
2726adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2823, 27sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2928imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
303ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
32 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
33 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
345, 33syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
3532, 34sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3635expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
3731, 36pm2.61d 150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
3937, 38fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC  /\  ( f `  n )  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  e.  CC )
4240, 41sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
4329, 42syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
44 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
4544, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
46 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A
) )
4823adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  /\  ( f `  n )  e.  A
) ) )
4944adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
5049biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  /\  (
f `  n )  e.  A ) ) )
5148, 50bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
5247, 51mtbid 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  ( f `  n
)  e.  A )
53 eldif 3162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  <->  ( (
f `  n )  e.  B  /\  -.  (
f `  n )  e.  A ) )
5445, 52, 53sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  ( B 
\  A ) )
55 difss 3303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
56 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5857fveq1i 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
59 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
6058, 59syl5eqr 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
6154, 60syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
62 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6362elsnc2 3669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
645, 63sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
65 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  |->  C )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C )
6664, 65fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 }  /\  ( f `  n
)  e.  ( B 
\  A ) )  ->  ( ( k  e.  ( B  \  A )  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e. 
{ 0 } )
6967, 54, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  {
0 } )
70 elsni 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
7261, 71eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
73 fzssuz 10832 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
7473a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
7519, 43, 72, 74sumss 12197 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
77 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7978fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
80 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
8180adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
8279, 81eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) )
8382sumeq2dv 12176 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
84 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
85 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  e.  Fin )
86 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
8785, 19, 86syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  e.  Fin )
88 f1of1 5471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-1-1-> B )
8914, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B )
90 f1ores 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
9189, 19, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> ( f
" ( `' f
" A ) ) )
92 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-onto-> B )
9314, 92syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B )
941adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
95 foimacnv 5490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
9693, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f " ( `' f " A ) )  =  A )
97 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9991, 98mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> A )
100 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
101100adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( f  |`  ( `' f " A ) ) `  n )  =  ( f `  n ) )
10294sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
103 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC  /\  m  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
10440, 103sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
105102, 104syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
10684, 87, 99, 101, 105fsumf1o 12196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
10783, 106eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
108 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  =  ( f `
 n ) )
10984, 85, 14, 108, 104fsumf1o 12196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
11075, 107, 1093eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
111 sumfc 12182 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
112 sumfc 12182 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
113110, 111, 1123eqtr3g 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
114113expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
115114exlimdv 1664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
116115expimpd 586 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
117 fsumss.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
118 fz1f1o 12183 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( # `  B )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
119117, 118syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( # `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
12012, 116, 119mpjaod 370 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  sumss2  12199  itg1val2  19039  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  ply1termlem  19585  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  coefv0  19629  coemulhi  19635  coemulc  19636  dvply1  19664  vieta1lem2  19691  dvtaylp  19749  pserdvlem2  19804  basellem3  20320  musum  20431  muinv  20433  fsumvma  20452  chpub  20459  logexprlim  20464  dchrsum  20508  chebbnd1lem1  20618  rpvmasumlem  20636  dchrisum0fno1  20660  rplogsum  20676  indsum  23606  flcidc  27379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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