MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Unicode version

Theorem fsumsub 12250
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumneg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsub.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsub  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  -  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumneg.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 fsumsub.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43negcld 9144 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
51, 2, 4fsumadd 12211 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  -u C ) )
61, 3fsumneg 12249 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  -u C  =  -u sum_ k  e.  A  C )
76oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  -u C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C )
)
85, 7eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C ) )
92, 3negsubd 9163 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
109sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  -  C ) )
111, 2fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
121, 3fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  CC )
1311, 12negsubd 9163 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C
) )
148, 10, 133eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  -  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumle  12257  fsumlt  12258  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  mertens  12342  3dvds  12591  pcfac  12947  pcbc  12948  ramcl  13076  ovolicc2lem4  18879  dvfsumabs  19370  coeeulem  19606  birthdaylem2  20247  emcllem5  20293  chpub  20459  logfaclbnd  20461  lgsquadlem1  20593  vmadivsum  20631  rpvmasumlem  20636  dchrmusum2  20643  dchrvmasumiflem2  20651  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  rplogsum  20676  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  logsqvma  20691  selberglem1  20694  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntlemo  20756  ax5seglem9  24565  bpolydiflem  24789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator