MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumtscopo Unicode version

Theorem fsumtscopo 12276
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumtscopo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
fsumtscopo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
fsumtscopo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
fsumtscopo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
fsumtscopo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumtscopo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumtscopo  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem fsumtscopo
StepHypRef Expression
1 fsumtscopo.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 10819 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 fsumtscopo.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
54ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
6 fsumtscopo.3 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
76eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
87rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
93, 5, 8sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  D  e.  CC )
1110subidd 9161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  D )  =  0 )
12 sum0 12210 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  0
1311, 12syl6reqr 2347 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  ( D  -  D ) )
14 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( N  =  M  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
1514adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
16 fzo0 10909 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
1817sumeq1d 12190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C ) )
19 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
k  =  M  <->  N  =  M ) )
20 fsumtscopo.4 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
2120eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  D  <->  E  =  D ) )
2219, 21imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( k  =  M  ->  A  =  D )  <->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) ) )
2322, 6vtoclg 2856 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) )
2423imp 418 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
251, 24sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
2625oveq2d 5890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  E )  =  ( D  -  D ) )
2713, 18, 263eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
28 fzofi 11052 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
2928a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
30 elfzofz 10905 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
3130adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  j  e.  ( M ... N ) )
325adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
33 fsumtscopo.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
3433eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3534rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3631, 32, 35sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
37 fzofzp1 10932 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3837adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
39 fsumtscopo.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
4039eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4238, 32, 41sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
4329, 36, 42fsumsub 12266 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4443adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4533cbvsumv 12185 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B
46 eluzel2 10251 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
471, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
48 eluzp1m1 10267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4947, 48sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
50 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
511, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzoval 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
55 fzossfz 10908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M..^ N )  C_  ( M ... N )
5655a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  C_  ( M ... N ) )
5754, 56eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5857sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
594adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  A  e.  CC )
6058, 59syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
6149, 60, 6fsum1p 12234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6254sumeq1d 12190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A )
63 fzoval 10892 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6452, 63syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6564sumeq1d 12190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
6665oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6761, 62, 663eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
6845, 67syl5eqr 2342 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
69 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
70 fzp1ss 10853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7147, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
7271sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
7372, 4syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7473adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7569, 74, 20fsumm1 12232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
76 1z 10069 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
7776a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7847peano2zd 10136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7977, 78, 51, 73, 39fsumshftm 12259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) C )
8047zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
81 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
82 pncan 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8380, 81, 82sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8483oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
8551, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
8684, 85eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
8786sumeq1d 12190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) C  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8879, 87eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8988adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
9051, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
9190sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
9291oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
93 fzofi 11052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin
9493a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
95 elfzofz 10905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
9695, 73sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
9794, 96fsumcl 12222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  e.  CC )
98 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
991, 98syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
10020eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
101100rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
10299, 5, 101sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
10397, 102addcomd 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10492, 103eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
105104adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10675, 89, 1053eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10768, 106oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) ) )
1089, 102, 97pnpcan2d 9211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E ) )
109108adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E
) )
110107, 109eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( D  -  E ) )
11144, 110eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
112 uzp1 10277 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1131, 112syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
11427, 111, 113mpjaodan 761 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  fsumtscopo2  12277  fsumtscop  12278  geoserg  12340  dchrisumlem2  20655  stirlinglem12  27937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator