MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Unicode version

Theorem fta 20317
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Distinct variable groups:    z, F    z, S

Proof of Theorem fta
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
3 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  (deg `  F
)  e.  NN )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  (
( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )  =  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_ 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F
) `  (deg `  F
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 20311 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) ) )
8 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
9 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (deg `  F )  e.  NN )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { s  e.  CC  |  ( abs `  s )  <_  r }  =  { s  e.  CC  |  ( abs `  s
)  <_  r }
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
12 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
13 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
1514breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
r  <  ( abs `  y )  <->  r  <  ( abs `  x ) ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
1817breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
1915, 18imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( r  <  ( abs `  y )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) ) )  <->  ( r  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
2019cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) )  <->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
2113, 20sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
221, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 21ftalem3 20312 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
2322expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
2423rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
257, 24mpd 14 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
26 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
27 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
(deg `  F )  e.  NN )
28 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
z  e.  CC )
29 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
( F `  z
)  =/=  0 )
301, 2, 26, 27, 28, 29ftalem7 20316 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
3130expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `
 z )  =/=  0  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
3231necon4ad 2507 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( F `  z )  =  0 ) )
3332reximdva 2655 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 ) )
3425, 33mpd 14 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator